[論文レビュー] All-order asymptotic expansion of beta matrix models in the multi-cut regime

Gaëtan Borot, Alice Guionnet|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Theoretical and Computational Physics被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、固定された充填分数を有する複数のセグメントから成る平衡測度の台を持つマルチカット領域におけるβ行列模型に対して、1/Nの全オーダー漸近展開の存在を確立する。さらに、充填分数の和を取ることで全漸近展開を導出し、Toda鎖やバルク外の直交多項式への応用を可能にする。

ABSTRACT

We push further our study of the all-order asymptotic expansion in beta matrix models with a confining, offcritical potential, in the regime where the support of the equilibrium measure is a reunion of segments. We first address the case where the filling fractions of those segments are fixed, and show the existence of a 1/N expansion to all orders. Then, we study the asymptotic of the sum over filling fractions, in order to obtain the full asymptotic expansion for the initial problem in the multi-cut regime. We describe the application of our results to study the all-order small dispersion asymptotics of solutions of the Toda chain related to the one hermitian matrix model (beta = 2) as well as orthogonal polynomials outside the bulk.

研究の動機と目的

• マルチカット平衡測度を有するβ行列模型における1/N全オーダー漸近展開の存在を確立すること。
• マルチカット領域における充填分数の和の漸近的挙動を分析すること。
• 充填分数の和を取ることで、元のマルチカット問題の完全な漸近展開を導出すること。
• 結果を、ヘルミート行列模型（β = 2）におけるToda鎖の小分散漸近に適用すること。
• フレームワークをスペクトルのバルク外における直交多項式の研究へと拡張すること。

提案手法

• コンfiningで臨界でないポテンシャルを有するマルチカット領域におけるβ行列模型を分析する。
• 平衡測度の台にあるセグメントの充填分数を固定し、1/N展開が全オーダーで存在することを証明する。
• 元の分配関数の全漸近展開を再構成するために、充填分数に関する和の手続きを適用する。
• 行列模型理論および直交多項式の漸近解析の技術を用いてマルチカット構造を取り扱う。
• 導出された展開を、1つのヘルミート行列模型（β = 2）との関係を通じてToda鎖に適用する。
• 結果をスペクトル支持の外部における直交多項式の漸近挙動へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された充填分数を有するマルチカット領域におけるβ行列模型に対して、1/N全オーダー漸近展開が存在するか？
• RQ2 充填分数の和は、分配関数の全漸近展開にどのように寄与するか？
• RQ3 マルチカット行列模型とToda鎖の小分散極限との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 漸近展開は、スペクトルのバルク外における直交多項式の研究にどのように利用できるか？
• RQ5 マルチカット設定において、高次近似を超えて全オーダー展開を体系的に導出できるか？

主な発見

• 固定された充填分数を有するマルチカット領域におけるβ行列模型に対して、1/N全オーダー漸近展開が存在する。
• 元の問題の完全な漸近展開は、すべての可能な充填分数の和を取ることで得られる。
• 結果は、β = 2の場合におけるToda鎖の小分散極限を体系的に研究するためのフレームワークを提供する。
• フレームワークにより、スペクトルのバルク外における直交多項式の漸近解析が可能になる。
• この手法はマルチカット配置へ一般化可能であり、行列模型技法の整数系への応用範囲を拡張する。
• 本研究は、従来1カットの場合に限られていたマルチカット設定における厳密な全オーダー展開を確立した。