[論文レビュー] Almost Automorphically and Almost Periodically Forced Circle Flows of Almost Periodic Parabolic Equations on S^1

Wenxian Shen, Yi Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、スカラ型反応拡散方程式のほぼ周期的時間依存性を有する $S^1$ 上の放物型方程式の力学的挙動を、スカラ型半流に着目して調べる。中心空間の次元に関する制約の下で、最小集合の構造に注目し、最小集合がハル $H(f)$ のほぼ1対1被覆であるか、またはほぼ自己同型的／周期的円周フローに埋め込めることが示されている。特に、双曲的、線形安定、対称的な場合に重要な結果を得ている。

ABSTRACT

We consider the skew-product semiflow which is generated by a scalar reaction-diffusion equation \begin{equation*} u_{t}=u_{xx}+f(t,u,u_{x}),\,\,t>0,\,x\in S^{1}=\mathbb{R}/2π\mathbb{Z}, \end{equation*} where $f$ is uniformly almost periodic in $t$. The structure of the minimal set $M$ is thoroughly investigated under the assumption that the center space $V^c(M)$ associated with $M$ is no more than $2$-dimensional. Such situation naturally occurs while, for instance, $M$ is hyperbolic or uniquely ergodic. It is shown in this paper that $M$ is a $1$-cover of the hull $H(f)$ provided that $M$ is hyperbolic (equivalently, ${ m dim}V^c(M)=0$). If ${ m dim}V^c(M)=1$ (resp. ${ m dim}V^c(M)=2$ with ${ m dim}V^u(M)$ being odd), then either $M$ is an almost $1$-cover of $H(f)$ and topologically conjugate to a minimal flow in $\mathbb{R} imes H(f)$; or $M$ can be (resp. residually) embedded into an almost periodically (resp. almost automorphically) forced circle-flow $S^1 imes H(f)$. When $f(t,u,u_x)=f(t,u,-u_x)$ (which includes the case $f=f(t,u)$), it is proved that any minimal set $M$ is an almost $1$-cover of $H(f)$. In particular, any hyperbolic minimal set $M$ is a $1$-cover of $H(f)$. Furthermore, if ${ m dim}V^c(M)=1$, then $M$ is either a $1$-cover of $H(f)$ or is topologically conjugate to a minimal flow in $\mathbb{R} imes H(f)$. For the general spatially-dependent nonlinearity $f=f(t,x,u,u_{x})$, we show that any stable or linearly stable minimal invariant set $M$ is residually embedded into $\mathbb{R}^2 imes H(f)$.

研究の動機と目的

• $S^1$ 上のスカラ型反応拡散方程式に対して、ほぼ周期的時間依存性を有する場合の最小集合 $M$ の構造を同定すること。
• $M$ がハル $H(f)$ のほぼ1対1被覆であるか、またはほぼ自己同型的／周期的円周フローに埋め込める条件を同定すること。
• 最小集合 $M$ の位相的・力学的構造を決定づける中心空間次元 $\dim V^c(M)$ の役割を分析すること。
• $\mathbb{R}^2 \times H(f)$ 内の安定または線形安定な最小集合に対して、位相的同相性および残渣的埋め込みに関する結果を確立すること。
• 時間的に非-autonomousで空間依存性を有するほぼ周期的設定に、既知のPoincaré-Bendixson型結果を拡張すること。

提案手法

• $X$ を分数次元空間、$H(f)$ をほぼ周期的摂動 $f$ のハルとする。$X \times H(f)$ 上にスカラ型半流 $\Pi^t$ を構成する。
• 時間シフトによる作用の下で、コンパクト・オーディナリー位相を備えたハル $H(f)$ を基底空間として用い、最小的かつ非分岐なフローを生成する。
• 線形化された力学系およびリャプノフ指数の理論を用いて安定性を分析し、特に線形安定な $M$ に対して $\bar{\lambda}_M \leq 0$ を示す。
• $\chi(v,g) = (v(x_0), v_x(x_0), g)$ という点評価写像を用い、$M \cap p^{-1}(Y_0)$ を $\mathbb{R}^2 \times Y_0$ に埋め込む。ここで $Y_0 \subset H(f)$ は残渣的集合である。
• $\chi$ 及びその逆写像の単射性と連続性を用いて、$M \cap p^{-1}(Y_0)$ と $\mathbb{R}^2 \times Y_0$ 上のフローとの間で位相的同相性を確立する。
• 比較原理およびSchauder推定を用いて解の有界性と成長率の制御を行い、リャプノフ指数が非正となるように導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ周期的放物型方程式の $S^1$ 上で、最小集合 $M$ がハル $H(f)$ のほぼ1対1被覆であるのはどのような場合か？
• RQ2 中心空間 $V^c(M)$ の次元が $M$ の位相的構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 どのような条件下で最小集合 $M$ がほぼ自己同型的またはほぼ周期的円周フロー $S^1 \times H(f)$ に埋め込めるか？
• RQ4 $f$ が対称的、すなわち $f(t,x,u,u_x) = f(t,x,u,-u_x)$ である場合、$M$ の力学的構造はどのようになるか？
• RQ5 安定または線形安定な最小集合は、残渣的集合として $\mathbb{R}^2 \times H(f)$ に埋め込めるか？ その結果、力学的挙動にどのような意味があるか？

主な発見

• $\dim V^c(M) = 0$（つまり $M$ が双曲的）の場合、$M$ は $H(f)$ の1対1被覆である。
• $\dim V^c(M) = 1$ の場合、$M$ は $H(f)$ のほぼ1対1被覆であるか、または $\mathbb{R} \times H(f)$ 上の最小フローと位相的同相である。
• $\dim V^c(M) = 2$ かつ $\dim V^u(M)$ が奇数の場合、$M$ は $H(f)$ のほぼ1対1被覆であるか、またはほぼ自己同型的摂動を受ける円周フロー $S^1 \times H(f)$ に残渣的埋め込み可能である。
• 対称的非線形項 $f(t,x,u,u_x) = f(t,x,u,-u_x)$ の場合、任意の最小集合 $M$ は $H(f)$ のほぼ1対1被覆であり、双曲的 $M$ は1対1被覆である。
• 安定または線形安定な最小不変集合 $M$ は、$\mathbb{R}^2 \times H(f)$ に残渣的埋め込み可能であり、$M$ 上のフローは $\mathbb{R}^2 \times H(f)$ の部分集合上のフローと位相的同相である。
• $M$ 上の上リャプノフ指数は非正であり、$\dim V^c(M) \leq 2$ の場合、線形安定性が確認される。