[論文レビュー] Almost Envy-Free Allocations with Connected Bundles

Vittorio Bilò, Ioannis Caragiannis+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Law, Economics, and Judicial Systems被引用数 52

ひとこと要約

この論文は、各エージェントが連結なバンドルを受け取る必要があるパス上の分割不能財の公平配分を研究する。2〜4人のエージェントに対しては、移動カミンとスペルナーの補題の離散的アナロジーを用いて、1つの財を除いて envy-free（EF1）配分が存在することを証明し、5人以上のエージェントに対してはEF2配分が存在することを示す。同一の評価を持つ場合、EF1配分を計算する多項式時間アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

We study the existence of allocations of indivisible goods that are envy-free up to one good (EF1), under the additional constraint that each bundle needs to be connected in an underlying item graph G. When the items are arranged in a path, we show that EF1 allocations are guaranteed to exist for arbitrary monotonic utility functions over bundles, provided that either there are at most four agents, or there are any number of agents but they all have identical utility functions. Our existence proofs are based on classical arguments from the divisible cake-cutting setting, and involve discrete analogues of cut-and-choose, of Stromquist's moving-knife protocol, and of the Su-Simmons argument based on Sperner's lemma. Sperner's lemma can also be used to show that on a path, an EF2 allocation exists for any number of agents. Except for the results using Sperner's lemma, all of our procedures can be implemented by efficient algorithms. Our positive results for paths imply the existence of connected EF1 or EF2 allocations whenever G is traceable, i.e., contains a Hamiltonian path. For the case of two agents, we completely characterize the class of graphs G that guarantee the existence of EF1 allocations as the class of graphs whose biconnected components are arranged in a path. This class is strictly larger than the class of traceable graphs; one can check in linear time whether a graph belongs to this class, and if so return an EF1 allocation.

研究の動機と目的

• 分割不能財の配分における接続性制約のもとで、envy-free up to one good（EF1）配分の存在を確立すること。
• 移動カミンやスペルナーの補題といったケーキカットの公平性概念を、離散的かつ接続的な設定へと拡張すること。
• 2人のエージェントに対してEF1配分を保証するグラフを同定し、その必要十分条件として、パスに沿って配置された2重連結成分を特定すること。
• エージェントの評価が同一の場合に、EF1配分を計算する多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• 接続性のある公平配分における計算複雑性と戦略的不正の制限を調査すること。

提案手法

• 2人および3人のエージェントに対して、ストロムクイストの移動カミンプロトコルの離散的アナロジーを用いてEF1配分を達成する。
• 連結なパーティションの単体の三角形分割を通じてスペルナーの補題を適用し、4人のエージェントに対するEF1配分の存在を証明する。
• スペルナーの補題にインspiredされたパスフォローアルゴリズムを用いて、高エージェント数の設定におけるEF2配分を構築する。
• 2人のエージェントに対するEF1プロトコルで「lumpy ties」の概念を導入し、エージェントが1つのアイテムを除いてバンドルが等価であると信号を出すことを可能にする。
• 平等な福利を最適化し、外側のアイテムを再配分することで、同一評価の状況においてEF1配分を多項式時間で計算するアルゴリズムを開発する。
• 禁止部分グラフの特徴付けを用いて、2人のエージェントに対してEF1配分を保証するすべてのグラフを同定し、その基盤となる2重連結成分がパスに沿って配置されていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス上に4人以上のエージェントがいる場合、連結バンドルを伴うEF1配分は存在するか？
• RQ2 移動カミンやスペルナーの補題のような連続的公平配分プロトコルの離散的版を、分割不能設定でEF1配分を構築するために使用できるか？
• RQ3 どのグラフが、連結バンドルを伴う2人のエージェントに対してEF1配分の存在を保証するか？
• RQ4 エージェントの評価が同一で、アイテムがパス上に配置されている場合、EF1配分を計算する多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ5 接続的かつEF1配分可能なメカニズムは、分割不能設定において戦略的不正が可能か？

主な発見

• パス上に4人までのエージェントがいる場合、離散的移動カミンおよびスペルナーの補題の手法により、連結バンドル付きのEF1配分が存在することが証明された。
• 5人以上のエージェントに対しては、スペルナーの補題を用いてEF2配分が存在することが示され、従来の結果を強化した。
• すべてのエージェントが同一の評価を持つ場合、多項式時間アルゴリズムによりO(mn)時間でEF1配分を計算可能である。
• 2人のエージェントに対してEF1配分を保証するグラフのクラスは、正確にその2重連結成分がパスに沿って配置されたものに限られ、これは線形時間で確認可能である。
• 連結配分において、2人のエージェントとパス上に5つのアイテムがある場合ですら、戦略的不正のないEF1メカニズムは存在しない。
• 5人以上のエージェントがいるパス上でのEF1配分の存在は、未解決の問題のまま残っている。