[論文レビュー] Almost global existence for a fractional Schrodinger equation on spheres and tori

Dario Bambusi, Yannick Sire|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ s > 1/2 $ の条件下で、球面およびトーラス上における分数級シュレーディンガー方程式の解について、ほとんど全域的存在性を確立する。Birkhoff正準形理論とゲージ不変性を用いて、初期データの大きさの逆数となる任意の高次のべき乗の時間スケールにおいて、Sobolevノルムを時間的に制御する。結果はほとんどすべての $ s > 1/2 $ に対して成り立ち、測度ゼロの集合を除く。これにより、高正則性のSobolev空間において、ほとんど全域的時間の間、解が有界に保たれることが保証される。

ABSTRACT

We study the time of existence of the solutions of the following Schr\\"odinger equation $$i\\psi_t = (-\\Delta)^s \\psi +f(|\\psi|^2)\\psi, x \\in \\mathbb S^d, or x\\in\\T^d$$ where $(-\\Delta)^s$ stands for the spectrally defined fractional Laplacian with $s>1/2$ and $f$ a smooth function. We prove an almost global existence result for almost all $s>1/2$.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体（球面やトーラス）上における分数級シュレーディンガー方程式の解について、ほとんど全域的時間の存在を確立すること。
• 零周波数モードの存在にもかかわらず、$ s > 1/2 $ の分数ラプラシアンにBirkhoff正準形理論の適用を拡張すること。
• $ L^2 $ノルムのゲージ不変性を活用して、正準形における零周波数モードの作用が非可換である問題を解決すること。
• 正準形理論に必要な非共鳴条件が、ほとんどすべての $ s > 1/2 $ に対して成り立つこと（測度ゼロの集合を除く）を示すこと。
• 初期データの大きさを $ \epsilon $ とすると、任意の $ K \geq 1 $ に対して時間スケール $ T \sim \epsilon^{-K} $ においてSobolevノルムを制御できることを保証すること。

提案手法

• 球面調和関数展開を用いて方程式をハミルトニアン形式に再定式化し、分数ラプラシアンを固有値 $ \omega_j = (j(j+d-1))^{s} $ を通じてスペクトル的に定義する。
• 非線形力学をBirkhoff正準形理論を用いて解析し、ハミルトニアンを $ H^{(K)} = H_0 + Z^{(K)} + \mathcal{R}^{(K)} $ の形に、$ K+3 $ 階までの正準形に変換する。
• 非共鳴条件 $ (K\text{-}NR) $ は、周波数の $ s $ に関する微分の行列式の推定により検証され、ほとんどすべての $ s > 1/2 $ に対して強い非共鳴性が保証される。
• ゲージ不変性を用いて、零周波数モードの作用 $ I_0 $ が正準形 $ Z^{(K)} $ と可換であることを示し、$ L^2 $ノルムの無限大発散を防ぐ。
• Sobolevノルムを保存するように変換 $ \mathcal{T}_K $ を構成し、$ r \geq r_K $ に対して $ H^r $ における正則性を確立する。
• 小余剰項 $ \mathcal{R}^{(K)} $ のベクトル場は $ \|\psi\|_{H^r}^{K+2} $ で有界であるため、解の長時間にわたる制御が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathbb{S}^d $ や $ \mathbb{T}^d $ 上の分数級シュレーディンガー方程式が、高Sobolevノルムにおいてほとんど全域的解を有するような $ s > 1/2 $ の値は何か？
• RQ2 スペクトル的に定義された分数ラプラシアンに起因する零周波数モードを取り扱うために、Birkhoff正準形法をどのように修正すればよいか？
• RQ3 周波数スペクトルにどのような条件が満たされれば、長時間存在に必要な強い非共鳴性が保証されるか？
• RQ4 ゲージ不変性は、正準形簡略化において零周波数モードの振幅が無限大に発散することをどのように防ぐか？
• RQ5 非線形項の次数が3以上である場合に、初期データの大きさを $ \epsilon $ とすると、時間の存在範囲を $ \epsilon^{-K} $（$ K \geq 1 $）にまで拡張できるか？

主な発見

• 任意の $ K \geq 1 $ に対して、測度ゼロの集合 $ \mathcal{S} \subset (1/2, \infty) $ が存在し、すべての $ s \in (1/2, \infty) \setminus \mathcal{S} $ に対して非共鳴条件 $ (K\text{-}NR) $ が成り立つ。
• $ \omega_j $ の $ s $ に関する微分の行列の行列式は、$ C / K^{\kappa^2} $ で下から抑えられ、周波数スペクトルの非退化性が保証される。
• ゲージ不変性と非線形項の構造のおかげで、正準形 $ Z^{(K)} $ はすべての $ I_j $（$ I_0 $ を含む）と可換である。
• $ \epsilon = \|\psi_0\|_{H^r} $ とすると、解は $ H^r $ ノルムで初期データの $ 2\epsilon $-ボール内に、$ |t| \leq T_{r,K} / \epsilon^K $ の時間範囲でとどまる。
• 正準変換 $ \mathcal{T}_K $ 及びその逆変換は、$ H^r $ から $ H^r $ への解析的写像であり、正則性を保存し、長時間の推定を可能にする。
• 結果は球面 $ \mathbb{S}^d $ およびトーラス $ \mathbb{T}^d $ の両方に対して成り立ち、球面の場合にはスペクトル構造のためやや注意が必要である。