[논문 리뷰] Ambiguous Volatility, Possibility and Utility in Continuous Time

Larry G. Epstein, Shaolin Ji|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 08.

Capital Investment and Risk Analysis참고 문헌 33인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 G-브라운 motion과 준확실성 분석을 기반으로 한 비확률공간 프레임워크를 사용하여 드리프트와 볼라티리티에 대한 모호성 모두를 포착하는 연속시간 유틸리티 모델을 개발한다. 비확률적 볼라티리티 하에서 후행 확률미분방정식(BSDE)의 해가 존재하고 유일함을 입증하여 금융 및 경제학 분야에서 모델 불확실성 하에서의 강건한 의사결정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper formulates a model of utility for a continuous time framework that captures the decision-maker's concern with ambiguity about both the drift and volatility of the driving process. At a technical level, the analysis requires a significant departure from existing continuous time modeling because it cannot be done within a probability space framework. This is because ambiguity about volatility leads invariably to a set of nonequivalent priors, that is, to priors that disagree about which scenarios are possible.

연구 동기 및 목표

• 연속시간에서 드리프트와 볼라티리티에 대한 모호성에 대한 의사결정 모델링을 하여 정적 다중사전모형을 동적 설정으로 확장한다.
• 볼라티리티가 모호할 경우 발생하는 비등가 사전확률(undominated measures)을 모델링하는 기술적 과제를 해결한다.
• 모호한 확률적 볼라티리티 하에서 자산 가격 결정 이론의 강건한 유틸리티 및 균형 분석을 위한 수학적으로 엄밀한 기반을 제공한다.
• 기존의 확률공간 모델링의 제약, 특히 Girsanov 정리에 의해 등가 측도에 국한되는 제약을 피하는 프레임워크를 개발한다.
• 비확률적 볼라티리티 하에서 후행 확률미분방정식(BSDE)의 해가 존재하고 유일함을 입증하여 동적 유틸리티 평가를 가능하게 한다.

제안 방법

• 볼라티리티의 모호성을 모델링하기 위해 G-브라운 motion을 사용하여 비등가 확률측도의 가족을 허용한다.
• 기존의 확률공간 방법 대신 비등가 사전확률과 비등가 측도를 다루기 위해 준확실성 분석(quasisure analysis)을 적용한다.
• 하향적 기댓값 연산자 $\hat{E}$ 하에서 후행 확률미분방정식(BSDE)을 적용하여 모호성 하의 동적 유틸리티를 표현한다.
• 공간 $M^2(0,T)$ 내에서 수축사상 원리에 기반한 증명을 통해 BSDE의 해가 존재하고 유일함을 입증한다.
• 집합함수 $f$ 에 대한 리프시츠 조건을 활용하고 $\hat{E}$ 하에서의 젠센 부등식 및 타워 성질을 이용해 안정성 경계를 유도한다.
• 시간에 따라 일관된 동적 프로그래밍 원리에 기반해 유틸리티를 순차적으로 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 확률공간에 의존하지 않고 드리프트와 볼라티리티에 대한 모호성을 포착할 수 있는 연속시간 유틸리티 모델을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 볼라티리티에 대한 모호성으로 인해 발생하는 비등가 사전확률을 다루기 위해 어떤 수학적 프레임워크가 필요한가?
• RQ3 하향적 기댓값 연산자 $\hat{E}$ 하에서 후행 확률미분방정식(BSDE)를 어떻게 풀 수 있는가? 이는 모호성 하의 동적 유틸리티를 표현하기 위해 필요한가?
• RQ4 모호한 볼라티리티 하에서 이러한 BSDE의 해가 존재하고 유일함을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 모델 불확실성 하에서 자산 가격 결정과 균형 분석을 어떻게 강건하게 지원하는가?

주요 결과

• 모델은 기존의 표준 확률공간 프레임워크를 초월하여 드리프트와 볼라티리티에 대한 모호성을 성공적으로 포착한다.
• G-브라운 motion과 준확실성 분석의 사용은 비등가 사전확률의 가족을 허용하여 가능한 시나리오에 대한 견해의 차이를 반영한다.
• 하향적 기댓값 $\hat{E}$ 하에서 후행 확률미분방정식(BSDE)은 $M^2(0,T)$ 내에 고유한 해를 가지며, 이는 잘 정의된 동적 유틸리티를 보장한다.
• 리프시츠 조건과 시간 역행 원리에 기반한 수축사상 원리에 의해 전체 시간 구간에 걸쳐 해의 존재성과 유일성이 증명된다.
• 해는 시간 일관성 성질을 만족하여, 모호성 하에서도 유틸리티 평가가 시간에 따라 일관됨을 보장한다.
• 이 프레임워크는 모호한 확률적 볼라티리티를 가진 금융 시장에서 강건한 균형 분석을 위한 엄밀한 기반을 제공한다.