[論文レビュー] Ambrosetti-Prodi problem with degenerate potential and Neumann boundary condition

Dušan Repovš|Repository of the University of Ljubljana (University of Ljubljana)|Feb 9, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\alpha \in (0,2)$ である重み $|x|^\alpha$ が退化性を引き起こす、ノイマン境界条件を満たす退化楕円型作用素に対するアムブロセッティ＝プローディ問題を研究する。事前推定と位相的次数論を用いて、非線形項 $f$ がゼロ固有値を crosses する条件下で、少なくとも2つの解をもつ $t < t_*$、1つの解をもつ $t_* < t \leq t^*$、解なしの $t > t^*$ を与える臨界パラメータ閾値 $t_*$ と $t^*$ の存在を確立する。

ABSTRACT

We study the degenerate elliptic equation $-\mathop{ m div}(|x|^α abla u) =f(u)+tϕ(x)+h(x)$ in a bounded open set $Ω$ with homogeneous Neumann boundary condition, where $α\in(0,2)$ and $f$ has a linear growth. The main result establishes the existence of real numbers $t_*$ and $t^*$ such that the problem has at least two solutions if $t\leq t_*$, there is at least one solution if $t_*t^*$. The proof combines a priori estimates with topological degree arguments.

研究の動機と目的

• 退化楕円型作用素 $-\mathrm{div}(|x|^\alpha \nabla u) = f(u) + t\varphi(x) + h(x)$ とノイマン境界条件の下でのアムブロセッティ＝プローディ問題を解析すること。
• 解の数を決定する臨界パラメータ閾値 $t_*$ と $t^*$ の存在を確立すること。
• 位相的手法を用いて、古典的アムブロセッティ＝プローディ枠組みを退化重みおよびノイマン境界条件に拡張すること。
• 重み $|x|^\alpha$ の退化性が解の多重性および存在に与える影響を調査すること。

提案手法

• 重み付きソボレフ空間 $H^1(\Omega; |x|^\alpha)$ において問題を定式化し、ノルム $\|\cdot\|_\alpha$ を備える。
• カファレッリ＝コーン＝ニレングェルクの不等式を用いて、$H^1(\Omega; |x|^\alpha)$ が $L^\infty(\Omega)$ にコンパクトに埋め込まれることを保証する。
• エネルギー推定とアズレラ＝アスコリの定理を用いて、解に対する事前 $L^\infty$ 界を確立する。
• 位相的次数論を用いて解集合を解析する：ホモトピー不変性と除去法則を用いて、パラメータ区間間での次数を比較する。
• 定数関数を用いて下解と上解を構成し、下解・上解法を適用する。
• 作用素 $I - S_t$ の次数を用いて解の多重性を推論する：次数が0であれば解なし、次数が$-1$ であれば少なくとも2つの解が存在する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項 $f$ がゼロ固有値を crosses する場合、ノイマン境界条件を満たす退化アムブロセッティ＝プローディ問題の解の挙動はどのように変化するか？
• RQ2 解の数が変化する臨界パラメータ閾値 $t_*$ と $t^*$ を特定できるか？
• RQ3 重み $|x|^\alpha$ が $\alpha \in (0,2)$ の場合、その退化性が解の存在および多重性に与える影響は何か？
• RQ4 古典的アムブロセッティ＝プローディ枠組みは、どの程度退化作用素およびノイマン条件に拡張可能か？

主な発見

• すべての $t < t_*$ に対して、少なくとも2つの解をもつ実数 $t_*$ と $t^*$ が存在する。
• $t \in (t_*, t^*]$ の範囲では、問題は正確に1つの解をもつ。
• $t > t^*$ に対しては、解が存在しない。
• $t_*$ と $t^*$ の存在は、位相的次数論的議論と事前 $L^\infty$ 推定によって確立される。
• $t$ がコンパクト区間内にある間、解集合は $L^\infty(\Omega)$ で一様有界であり、これにより次数論の適用が可能になる。
• $t > t^*$ の場合、作用素 $I - S_t$ の次数は0であり、$t < t_*$ の場合、次数は $-1$ である。これにより、その範囲で少なくとも2つの解が存在することが確認される。