[논문 리뷰] Amenability of Closed Subgroups and Orlicz Spaces

Yaroslav Kopylov|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 29.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 두 번 가산 국소 콪스터러프 군 $G$ 의 닫힌 부분군 $H$ 가 애먼블리언임과 그에 대한 $G$ 위에서의 왼쪽 정규 표현이 오르리츠 공간 $L^\Phi(G)$ 에서 거의 불변 벡터를 거의 가지는 것 사이의 동치성을 증명한다. 이는 $\Delta_2$-정규 $N$-함수 $\Phi$ 에 대해 성립한다. 또한, 두 번 가산 국소 콱스터러프 군 $G$ 가 비콤팩트일 때, 그 첫 번째 코homology 공간 $H^1(G, L^\Phi(G))$ 가 비하우스도르프임과 $G$ 가 애먼블리언임이 서로 동치임을 보이며, 기존의 애먼블리언성에 관한 오르리츠 공간 표현과 코homological 기준을 일반화한다.

ABSTRACT

We prove that a closed subgroup $H$ of a second countable locally compact group $G$ is amenable if and only if its left regular representation on an Orlicz space $L^Φ(G)$ for some $Δ_2$-regular $N$-function $Φ$ almost has invariant vectors. We also show that a noncompact second countable locally compact group $G$ is amenable if and ony if the first cohomology space $H^1(G,L^Φ(G))$ is non-Hausdorff for some $Δ_2$-regular $N$-function $Φ$.

연구 동기 및 목표

• 두 번 가산 국소 콱스터러프 군의 닫힌 부분군에 대한 애먼블리언성의 특성화를 $L^p$-공간 대신 오르리츠 공간을 사용하여 일반화한다.
• 기존의 코homological 기준을 $\Delta_2$-정규 $N$-함수에 대해 오르리츠 공간 $L^\Phi(G)$ 로 확장한다.
• 첫 번째 코homology 공간 $H^1(G, L^\Phi(G))$ 의 비하우스도르프 성질과 비콤팩트 군의 애먼블리언성 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 왼쪽 정규 표현이 $L^\Phi(G)$ 에서 거의 불변 벡터를 갖는다는 성질이 닫힌 부분군의 애먼블리언성을 특성화함을 증명한다.

제안 방법

• 기본적으로 $\Delta_2$-정규 $N$-함수 $\Phi$ 를 사용하여 정의된 오르리츠 공간 $L^\Phi(G)$ 를 사용하며, 게이지 노름은 $\|f\|_{(\Phi)} = \inf\{k > 0 : \int_G \Phi(|f(x)/k|) d\mu_G(x) \leq 1\}$ 이다.
• 기존의 레이오–레잇 조건 $(P_\Phi)$ 를 적용하여, 컴팩트 집합과 작은 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $L^\Phi(G)$ 내에서 거의 불변 함수가 존재함을 조건으로 삼아 애먼블리언성을 특성화한다.
• 닫힌 부분군 $H$ 의 왼쪽 정규 표현이 $L^\Phi(G)$ 에서 거의 불변 벡터를 갖는 것과 $H$ 가 애먼블리언임이 서로 동치임을 증명하며, 이는 도함수 $\varphi = \Phi'$ 와 그 왼쪽 역함수 $\psi$ 를 포함한 노름 추정을 사용한다.
• 함수를 $G/H$ 에서 $H$ 로 올리는 데 사용되는 보렐 단면 $\sigma: G/H \to G$ 를 사용하여, 노름과 코cycle의 구조를 유지한다.
• 구샤르디의 결과를 응용하여, $H^1(G,V) = \overline{H}^1(G,V)$ 이다. 이는 $V$ 가 거의 불변 벡터를 갖지 않을 때 성립하며, 이는 $V = L^\Phi(G)$ 에 적용된다.
• 비콤팩트 $G$ 에 대해 $L^\Phi(G)^G = 0$ 이므로 코homological 기준이 적용되며, 이는 비하우스도르프 코homology와 비애먼블리언성 사이의 동치성을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본적으로 $\Delta_2$-정규 $N$-함수 $\Phi$ 에 대해, 왼쪽 정규 표현이 $L^\Phi(G)$ 에서 거의 불변 벡터를 갖는다는 성질이 닫힌 부분군 $H$ 의 애먼블리언성을 특성화하는가?
• RQ2 레이터의 조건 $(P_p)$ 를 통해 기존에 알려진 애먼블리언성 기준을 $L^p$-공간에서 오르리츠 공간 $L^\Phi(G)$ 로 확장할 수 있는가?
• RQ3 첫 번째 코homology 공간 $H^1(G, L^\Phi(G))$ 가 비하우스도르프임과 $G$ 가 비콤팩트이면서 비애먼블리언임이 서로 동치인가?
• RQ4 비콤팩트이고 두 번 가산인 군 $G$ 에 대해, $L^\Phi(G)$ 의 코homological 구조는 애먼블리언성과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 두 번 가산 국소 콱스터러프 군 $G$ 의 닫힌 부분군 $H$ 는, 어떤 $\Delta_2$-정규 $N$-함수 $\Phi$ 에 대해 그 왼쪽 정규 표현이 $L^\Phi(G)$ 에서 거의 불변 벡터를 갖는다. 이는 $H$ 가 애먼블리언임과 동치이다.
• 비콤팩트이고 두 번 가산인 국소 콱스터러프 군 $G$ 에 대해, 첫 번째 코homology 공간 $H^1(G, L^\Phi(G))$ 가 비하우스도르프임과 $G$ 가 비애먼블리언임이 서로 동치이다.
• 이 증명은 레이오가 증명한 $(P_\Phi)$ 조건과 애먼블리언성의 동치성에 기반하며, 이를 오르리츠 공간 설정으로 확장한다.
• 오르리츠 공간 $L^\Phi(G)$ 내의 노름 추정은 도함수 $\varphi = \Phi'$ 와 그 왼쪽 역함수 $\psi$ 를 사용하며, 부등식 $|\Phi(a) - \Phi(b)| \leq |a - b|(\varphi(a) + \varphi(b))$ 가 핵심적인 역할을 한다.
• 코homological 기준은 $L^\Phi(G)$ 에 대해 구샤르디의 정리를 적용함으로써 유도되며, 비콤팩트 $G$ 에서의 무한한 하우어 측도로 인해 $L^\Phi(G)^G = 0$ 이 되므로, 이 정리의 가정 조건을 충족시킨다.
• 이 결과는 $L^p$-공간에서의 정리 B 를 오르리츠 공간으로 일반화하며, $H \leq G$ 의 애먼블리언성이 $\lambda_G(H)$ 가 $L^\Phi(G)$ 에서 거의 불변 벡터를 갖는 것과 동치임을 보여준다.