[論文レビュー] Amenable covers, volume and L2-Betti numbers of aspherical manifolds

Roman Sauer|ArXiv.org|May 23, 2006

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可測群論およびGaboriauの$ρ$-単体的複体における$L^2$-Betti数理論を用いて、球面的多様体の$L^2$-Betti数と体積の間の予想された不等式を証明する。体積に関する一様な上界が、有界なパッキングやリッチ曲率といった幾何的制約のもとで得られ、最小体積が十分に小さい場合には$L^2$-Betti数が消えるギャップ定理を示す。

ABSTRACT

We provide a proof for an inequality between volume and L2-Betti numbers of aspherical manifolds for which Gromov outlined a strategy based on general ideas of Connes. The implementation of that strategy involves measured equivalence relations, Gaboriau's theory of L2-Betti numbers of R-simplicial complexes, and other themes of measurable group theory. Further, we prove new vanishing theorems for L2-Betti numbers that generalize a classical result of Cheeger and Gromov. As one of the corollaries, we obtain a gap theorem which implies vanishing of L2-Betti numbers of an aspherical manifold when its minimal volume is sufficiently small.

研究の動機と目的

• GromovがConnesのアイデアを用いて概説した、球面的多様体の体積と$L^2$-Betti数の間の予想された不等式を厳密に証明すること。
• 単体的体積および有界コホモロジーに関する古典的消滅定理を、$L^2$-Betti数の文脈に一般化すること。
• 球面的多様体の最小体積が十分に小さい場合には$L^2$-Betti数が消えるギャップ定理を確立すること。
• $ρ$-空間および$ρ$-被覆の枠組みを構築し、普遍被覆の幾何を制御し、$L^2$-Betti数を評価すること。
• $L^2$-Betti数の理論を特異的フォリエーションホモロジーに拡張し、サポート質量を用いてvon Neumann代数における次元を推定すること。

提案手法

• 球面的多様体の普遍被覆の幾何を分析するために、Gaboriauの$ρ$-単体的複体における$L^2$-Betti数理論を用いる。
• Ornstein-Weiss-Rokhlin補題を適用して、多重度が制御された$ρ$-被覆を構成し、被覆のネorskの細胞数を推定する。
• 特異的フォリエーションホモロジーを用いて、$H_n^̼(X \times \widetilde{M})$における基本類のサポート質量を定義および計算する。
• 基本類とのキャップ積を用いて、$L^2$-Betti数を$L(X,\Gamma)$-加群上のホモロジー群の次元と関連付ける。
• 特に加法性およびトレースに基づく計算を用いたvon Neumann代数の次元理論、特に$\dim_{L(\Gamma)}$を用いる。
• Alexander-Whitneyの公式を用いてキャップ積写像を分解し、その核が制御されたサポート質量の部分加群として特定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パッキング条件の下で、球面的多様体$M$に対して不等式$b^{(2)}_i(\widetilde{M}) \leq \text{const}_{C,n} \cdot \text{vol}(M)$が厳密に確立可能か？
• RQ2 球面的多様体の最小体積が、その$L^2$-Betti数の消滅を制御するか？
• RQ3 可測群論を用いて、単体的体積に関する古典的消滅定理を$L^2$-Betti数の文脈に拡張可能か？
• RQ4 $\mathscr{H}_n(X \times \widetilde{M})$における基本類のサポート質量が、$L^2$-Betti数の上限を求めるのにどのように利用できるか？
• RQ5 曲率の上限（例えばリッチ曲率）と$L^2$-Betti数の成長との間の明確な関係は何か？

主な発見

• 任意の$n \in \mathbb{N}$に対して、定数$\text{const}_{n} > 0$が存在し、$M$が$n$次元で閉じた球面的多様体であり、$\operatorname{Ricci}(M) \geq -(n-1)$を満たすならば、すべての$i \geq 0$に対して$b^{(2)}_i(\widetilde{M}) \leq \text{const}_{n} \cdot \text{vol}(M)$が成り立つ。
• パッキング条件のもとで不等式$b^{(2)}_i(\widetilde{M}) \leq \text{const}_{C,n} \cdot \text{vol}(M)$が成立する：任意の$0 < r < 1$に対して、半径1の球の中に半径$r$の互いに交わらない球が高々$C r^{-n}$個含まれる。
• ギャップ定理が確立された：$\operatorname{minvol}(M)$が十分に小さいならば、すべての$i \geq 0$に対して$b^{(2)}_i(\widetilde{M}) = 0$である。
• $\mathscr{H}_n(X \times \widetilde{M})$における基本類$[M]$のサポート質量は、$L(X,\Gamma)$-加群における次元推定を通じて$L^2$-Betti数を制御する。
• $L^2$-Betti数$b^{(2)}_{n-j}(\widetilde{M})$は、基本類の代表的サイクルにおける関数のサポートの測度の和によって上から抑えられる。
• 証明は、評価写像$ev_j$の核が、基本類とのキャップ積の核に含まれることに依拠しており、これによりサポート質量による次元推定が可能になる。