[論文レビュー] Amenable semigroups of nonexpansive mappings on weakly compact convex sets

Andrzej Wiśnicki|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

Optimization and Variational Analysis参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間の弱コンパクト凸集合に作用する左アーメンな位相付き半群に対して、不動点定理を確立する。具体的には、$WAP(S)$、$LUC(S)$、または $WAP(S) \bigcap LUC(S)$ 上に左不変平均が存在することと、非拡大写像の不動点性質が同値であることを示している。これは[11]の質問4を肯定的に解決し、Hsuの不動点定理を左可換な離散半群から左アーメンな位相付き半群へ一般化するものである。

ABSTRACT

We show a few fixed point theorems for semigroups acting on weakly compact convex subsets of Banach spaces when $LUC(S), AP(S), WAP(S)$ or $WAP(S)\cap LUC(S)$ have a left invariant mean. In particular, we give a characterization of semitopological semigroups that have a left invariant mean on the space of weakly almost periodic functions in terms of a fixed point property for nonexpansive mappings. It answers, in the case of Banach spaces, Question 4 of [A.T.-M. Lau, Y. Zhang, J. Funct. Anal. 263 (2012), 2949--2977] in affirmative. We also extend the fixed point theorem of R. Hsu from left reversible discrete semigroups to left amenable semitopological semigroups in Banach spaces.

研究の動機と目的

• バナッハ空間における弱コンパクト凸集合に作用する位相付き半群が、$WAP(S)$ 上に左不変平均をもつことと、非拡大写像の不動点性質との間の特徴づけを行う。
• 従来、$WAP(S)$ や $LUC(S)$ に対して不動点結果を得る際に必要とされていた分離性の仮定を、弱コンパクト凸集合に作用する場合に除去する。
• Hsuの不動点定理を左可換な離散半群から左アーメンな位相付き半群へ、バナッハ空間における弱コンパクト凸集合の文脈で拡張する。
• 非拡大半群作用の不動点性質を用いて、$AP(S)$、$WAP(S)$、$LUC(S)$、および $WAP(S) \cap LUC(S)$ 上に左不変平均が存在することの完全な特徴づけを確立する。
• 今後の研究の方向性として、Radon-Nikodym性質をもつ双対バナッハ空間の弱*コンパクト凸集合への非拡大作用への固定点結果の一般化を提示する。

提案手法

• 有界関数の部分空間 $AP(S)$、$WAP(S)$、$LUC(S)$ およびその交差にたいする左不変平均（LIM）の概念を用いる。
• 弱コンパクト凸集合における、弱に別々連続的・非拡大的・弱擬等連続的作用に対して、不動点性質 $(F)$ を適用する。
• $AP(S)$、$WAP(S)$、$LUC(S)$ の導入性（introversion）性質を用いて、移動作用による軌道閉包が関数空間内に留まることを保証する。
• Mazurの補題を用いて弱列収束を導出し、背理法を用いて軌道閉包上での作用の弱連続性を証明する。
• 定理3.6を適用し、$ olinebreak X \subset \ell^\infty(S)$ という適切な部分空間上に左不変平均が存在することと、$K$ 内に共通不動点が存在することを結びつける。
• 作用の共同弱連続性と非拡大性に依拠し、軌道関数 $f_y(s) = \|T_s x - x\|$ が $LUC(S)$ および $WAP(S)$ に属することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離性を仮定しない条件下で、$WAP(S)$ 上に左不変平均が存在することは、バナッハ空間における弱コンパクト凸集合に作用する非拡大半群作用の不動点性質を特徴づけるか？
• RQ2 Hsuの左可換な離散半群に対する不動点定理は、弱コンパクト凸集合に作用する左アーメンな位相付き半群へ拡張可能か？
• RQ3 $LUC(S)$ または $WAP(S) \cap LUC(S)$ 上に左不変平均が存在することと、非拡大半群作用の不動点性質との関係は何か？
• RQ4 非拡大作用の不動点性質は、バナッハ空間における弱コンパクト凸集合の正規構造とどのように関係するか？
• RQ5 $AP(S)$、$WAP(S)$、$LUC(S)$ に対する固定点結果は、どの程度双対バナッハ空間の弱*コンパクト凸集合へ一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、非拡大的・別々連続的作用に対して不動点性質 $(D)$ を満たす弱コンパクト凸部分集合が存在することと、$WAP(S)$ 上に左不変平均が存在することの完全な特徴づけを提供し、[11]の質問4を肯定的に解決した。
• 分離性の仮定を必要とせず、$LUC(S)$ および $WAP(S) \cap LUC(S)$ に対する不動点性質を確立した。これは、従来の分離性に依存する結果を拡張するものである。
• Hsuの不動点定理を左可換な離散半群から左アーメンな位相付き半群へ一般化し、非拡大的・別々連続的作用のもとで、弱コンパクト凸集合に共通不動点が存在することを示した。
• 非拡大半群作用の不動点性質 $(E)$ が $AP(S)$ 上に左不変平均が存在することと同値であり、この性質は弱コンパクト凸集合における正規構造を示唆することを示した。
• 軌道閉包上での半群作用が弱擬等連続的であることが証明され、これは不動点性質 $(F)$ を適用し、極限写像の弱連続性を保証するために不可欠である。
• 結果は、Radon-Nikodym性質をもつ双対バナッハ空間の弱*コンパクト凸集合の設定へ拡張され、このフレームワークのより広範な適用可能性を示唆している。