[論文レビュー] Amplifiers and Suppressors of Selection for the Moran Process on Undirected Graphs

George Giakkoupis|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2016

Game Theory and Applications参考文献 31被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、モーラン過程における強い選択増幅子または抑制子として機能する無向グラフの、これまでに知られていた最初の例を提示している。グラフサイズが増加するにつれ、固定確率が1または0に近づくことが示された。構成は単純であるが、証明可能な最適性を有しており、増幅子の固定確率は$1 - \tilde{O}(n^{-1/3})$、抑制子は$\tilde{O}(n^{-1/4})$を達成している。これは、無向グラフにおいてこのようなグラフが存在しないという長年の信念を覆している。

ABSTRACT

We consider the classic Moran process modeling the spread of genetic mutations, as extended to structured populations by Lieberman et al.\ (Nature, 2005). In this process, individuals are the vertices of a connected graph $G$. Initially, there is a single mutant vertex, chosen uniformly at random. In each step, a random vertex is selected for reproduction with a probability proportional to its fitness: mutants have fitness $r>1$, while non-mutants have fitness 1. The vertex chosen to reproduce places a copy of itself to a uniformly random neighbor in $G$, replacing the individual that was there. The process ends when the mutation either reaches fixation (i.e., all vertices are mutants), or gets extinct. The principal quantity of interest is the probability with which each of the two outcomes occurs. A problem that has received significant attention recently concerns the existence of families of graphs, called strong amplifiers of selection, for which the fixation probability tends to 1 as the order $n$ of the graph increases, and the existence of strong suppressors of selection, for which this probability tends to 0. For the case of directed graphs, it is known that both strong amplifiers and suppressors exist. For the case of undirected graphs, however, the problem has remained open, and the general belief has been that neither strong amplifiers nor suppressors exist. In this paper we disprove this belief, by providing the first examples of such graphs. The strong amplifier we present has fixation probability $1- ilde O(n^{-1/3})$, and the strong suppressor has fixation probability $ ilde O(n^{-1/4})$. Both graph constructions are surprisingly simple. We also prove a general upper bound of $1- ilde Ω(n^{-1/3})$ on the fixation probability of any undirected graph. Hence, our strong amplifier is existentially optimal.

研究の動機と目的

• 無向グラフにおいて強い選択増幅子または抑制子が存在するかという未解決問題を解き、それらが存在しないという一般的な信念に挑戦すること。
• モーラン過程において極端な固定確率を示す明示的かつ単純な無向グラフ族を構築すること。
• 無向グラフにおける固定確率のタイトな理論的境界を確立し、提案された増幅子の存在的最適性を証明すること。
• これらの構造が進化的ダイナミクスに与える影響、特に体細胞進化や社会的影響の拡散への応用を探索すること。

提案手法

• 階層的頂点グループ化と制御された接続性を用いて、突然変異体への固定を偏向させる新しい無向グラフ構成を設計する。
• 接続性を変更することで、突然変異体の拡散を隔離・制限し、固定確率を低下させる補完的な抑制子グラフを構築する。
• 確率的解析と hitting 時間の境界を用いて固定確率を推定し、頂点重みと近傍構造の調和平均に依存する。
• 集中不等式と尾部推定を用いて、グラフの各層にわたる頂点寄与の和における誤差項を制御する。
• 対称性と一様なランダム初期化を活用して、単一突然変異体の初期状態における集約固定確率$\rho_G(r)$を導出する。
• 任意の無向グラフにおける固定確率の上界が$1 - \tilde{\Omega}(n^{-1/3})$であることを証明し、増幅子が存在的に最適であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無向グラフにおけるモーラン過程において、強い選択増幅子が存在するか？
• RQ2 過去の信念とは対照的に、無向グラフにおいて強い選択抑制子を構築できるか？
• RQ3 無向グラフにおける固定確率の理論的限界は何か？ そして、それを達成できるか？
• RQ4 グラフ構造と接続性は、構造的集団における固定ダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ5 単純で解析的に取り扱いやすいグラフ族は、近似的に最適な固定行動を達成できるか？

主な発見

• 無向グラフにおける強い選択増幅子の明示的構成が提示され、固定確率は$1 - \tilde{O}(n^{-1/3})$である。
• 固定確率が$\tilde{O}(n^{-1/4})$である強い選択抑制子が構築され、無向グラフにおいてこのようなグラフが存在することを証明した。
• 提案された増幅子は、理論的上界$1 - \tilde{\Omega}(n^{-1/3})$と一致する漸近的最適な固定確率を達成している。
• 解析により、無向グラフにおいても選択の増幅と抑制の両方が可能であることが確認され、従来の仮定を覆した。
• 構成は非常に単純であり、現実の進化的または社会的ネットワークにおける関連性を示唆している。
• 結果から、ネットワークトポロジーを設計することで、構造的集団における有利な特性の固定を促進または抑制できることが示唆された。