[論文レビュー] An adaptive generalized multiscale discontinuous Galerkin method (GMsDGM) for high-contrast flow problems

Eric T. Chung, Yalchin Efendiev+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、高対比流れ問題に対する適応的Generalized Multiscale Discontinuous Galerkin Method (GMsDGM)を提案し、$L_2$-ベースのa-posteriori誤差推定値を用いて、効率的で目的志向の高い多スケール基底関数の豊か化を誘導する。この手法は、適応的豊か化アルゴリズムの収束を達成し、計算的に安価な誤差指標を用いて、均一な豊か化よりも優れた性能を示す。

ABSTRACT

In this paper, we develop an adaptive Generalized Multiscale Discontinuous Galerkin Method (GMs-DGM) for a class of high-contrast flow problems, and derive a-priori and a-posteriori error estimates for the method. Based on the a-posteriori error estimator, we develop an adaptive enrichment algorithm for our GMsDGM and prove its convergence. The adaptive enrichment algorithm gives an automatic way to enrich the approximation space in regions where the solution requires more basis functions, which are shown to perform well compared with a uniform enrichment. We also discuss an approach that adaptively selects multiscale basis functions by correlating the residual to multiscale basis functions (cf. [4]). The proposed error indicators are L2-based and can be inexpensively computed which makes our approach efficient. Numerical results are presented that demonstrate the robustness of the proposed error indicators.

研究の動機と目的

• 高対比流れ問題におけるGeneralized Multiscale Discontinuous Galerkin Method (GMsDGM)のための適応的豊か化戦略を開発すること。
• 適応的豊か化を誘導するための、$L_2$-ノルム誤差指標に基づくa-posteriori誤差推定値を導出すること。
• 提案された誤差指標の下で、適応的豊か化アルゴリズムの収束を証明すること。
• 局所的残差と相関する基底関数の選択により、自動的かつ局所的な豊か化を可能とし、不均一領域における精度を向上させること。

提案手法

• 本手法は、粗格子ソルバーとして内部ペナルティ不連続ガレルキン法を採用し、粗格子要素境界を越えて基底関数が独立するようにする。
• スナップショット空間は、各粗格子要素ごとに細格子解を用いて構築され、次元削減のためのスペクトル分解が施される。
• 2つの別々のスペクトル問題を解く：1つは調和拡張用、もう1つは粗格子要素境界で値がゼロとなる関数用であり、これらから低次元のオフライン空間が生成される。
• $L_2$-ノルムにおけるa-posteriori誤差推定値が導出され、計算的に安価で、豊か化が必要な領域を特定するために用いられる。
• 適応的豊か化アルゴリズムは、誤差指標と残差相関に基づいて基底関数を選択し、効果の薄い基底関数を削除するメカニズムを備える。
• エネルギー誤差バインディングとスペクトルの減衰および安定性推定から導かれる収縮性を用いて、適応的アルゴリズムの収束が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L_2$-ベースのa-posteriori誤差推定値は、高対比問題におけるGMsDGMの適応的豊か化を効果的に誘導するために使用可能か？
• RQ2 提案された適応的豊か化アルゴリズムは、GMsDGMフレームワークにおいて収束するか？
• RQ3 精度と効率の観点から、適応的豊か化は均一な豊か化と比較してどのように異なるか？
• RQ4 局所的残差と相関する基底関数を適応的に選択可能か？また、これにより解の精度が向上するか？
• RQ5 スペクトル分解は、調和関数と境界値ゼロ関数の両方の成分の低次元オフライン空間を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• エネルギーノルムにおける収縮性を用いた証明により、$L_2$-ノルム誤差指標に基づく適応的豊か化アルゴリズムの収束が確認された。
• 誤差推定値は計算的に安価で効果的であり、高対比領域における効率的で自動的な豊か化を可能にする。
• 解の高分解能を要する領域に基底関数を集中させることで、均一な豊か化よりも優れた精度を達成した。
• 収束速度は固有値のスペクトル減衰に支配され、誤差は使用されない最初の固有値の逆数に比例する。
• アルゴリズムは、調和拡張成分と境界値ゼロ成分の両方から基底関数を適応的に選択でき、複雑な領域における表現を向上させる。
• 理論的分析により、細格子誤差が無視可能であるという仮定の下で、粗格子離散化に起因する誤差が有界であり、適応的豊か化によって減少することが確認された。