[論文レビュー] An adjunction inequality for the Bauer-Furuta type invariants, with applications to sliceness and 4-manifold topology

Nobuo Iida, Anubhav Mukherjee+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、接触境界を持つ4次元多様体におけるBauer–Furuta型不変量に対して、首を引き延ばす技法と等長安定ホモトピー論を用いて、新たな接合不等式を確立する。非自明なホモロジー類で自己交叉数が非負であるものは、不変量が非ゼロであれば、滑らかに埋め込まれた2次元球面によって表されえないことを示し、これがシンプレクティック4次元多様体におけるスライス性の新たな障害およびエキゾチックな滑らか構造の検出に繋がる。

ABSTRACT

Our main result gives an adjunction inequality for embedded surfaces in certain $4$-manifolds with contact boundary under a non-vanishing assumption on the Bauer--Furuta type invariants. Using this, we give infinitely many knots in $S^3$ that are not smoothly H-slice (that is, bounding a null-homologous disk) in many $4$-manifolds but they are topologically H-slice. In particular, we give such knots in the boundaries of the punctured elliptic surfaces $E(2n)$. In addition, we give obstructions to codimension-0 orientation-reversing embedding of weak symplectic fillings with $b_3=0$ into closed symplectic 4-manifolds with $b_1=0$ and $b_2^+\equiv 3$ mod $4$. From here we prove a Bennequin type inequality for symplectic caps of $(S^3,ξ_{std})$. We also show that any weakly symplectically fillable $3$-manifold bounds a $4$-manifold with at least two smooth structures.

研究の動機と目的

• 接触境界とb₃=0をもつ4次元多様体におけるBauer–Furuta型不変量の接合不等式を確立すること。
• その不等式を、トポロジカルにH-スライスであるが滑らかにH-スライスでない4次元多様体内の紐のスライス性を妨げる応用に用いること。
• 弱シンプレクティック充填体を閉じたシンプレクティック4次元多様体にcodimension-0で向きを反転する埋め込みとする場合の新たな障害を提供すること。
• 標準接触構造(S³, ξ_std)のシンプレクティックキャップに対して、ベネンキン型不等式を確立し、ゲージ理論的道具をシンプレクティック充填体を超える広いクラスの4次元多様体へ拡張すること。
• 非ゼロ不変量と連結和公式を用いて、境界を持つ4次元多様体におけるエキゾチックな滑らか構造を検出すること。

提案手法

• Frøyshov (2005) や Kronheimer–Mrowka (1994) のアイデアを踏まえた首の引き延ばし法を用い、Seiberg–Witten理論における接合型不等式を導出する。
• 第一著者のBauer–Furuta型の精密化Ψ(W,ξ,s)を、接触境界とb₃(W)=0をもつスピンc 4次元多様体に適用する。
• 連結和公式Ψ(W#X, s_ω#s_X)を用いて、相対的不変量と閉じた多様体上の絶対的不変量を関連付ける。
• Floerホモトピー接触不変量と[IT20]のグリューリング定理を用いて、Ψ(W#X, s_ω#s_X)の非ゼロ性を確立する。
• Bauer–Furuta不変量のS¹-等長安定ホモトピー型構造を用いて、非自明性を検出する。
• 接合不等式を、紐のコンcordanceと有理ホモロジー球面に関する既知の結果と組み合わせ、スライス性の障害を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触境界とb₃=0をもつ4次元多様体におけるBauer–Furuta型不変量に対して、接合不等式を確立できるか？
• RQ2 この不等式は、トポロジカルにH-スライスであるが滑らかにH-スライスでない4次元多様体内の紐のスライス性に対して、どのような障害を提供するか？
• RQ3 非ゼロ不変量を用いて、境界を持つ4次元多様体におけるエキゾチックな滑らか構造を不変量が検出できるか？
• RQ4 接合不等式は、(S³, ξ_std)のシンプレクティックキャップに対して、シンプレクティック充填体と比較してどのような意味を持つのか？
• RQ5 b₃=0の弱シンプレクティック充填体が、b₁=0およびb₂⁺≡3 mod 4をもつ閉じたシンプレクティック4次元多様体にcodimension-0で埋め込める条件は何か？

主な発見

• 接合不等式は、接触境界(Y,ξ)とb₃(W)=0をもつスピンc 4次元多様体Wに対してΨ(W,ξ,s)≠0ならば、H₂(W,∂W;ℤ)内の非トロスホモロジー類は、自己交叉数が非負である滑らかな2次元球面によって表されえない、と述べる。
• 無限個の紐、特に{T_{2,2ⁿ⁻¹}}を含むS³内の紐が、穴あき楕円的表面E(2n)の境界でトポロジカルにH-スライスであるが、滑らかにH-スライスでないことが示された。
• XがS¹-非零ホモトピー的不変量を持ち、Wがb₃=0の弱シンプレクティック充填体であるとき、相対的Bauer–Furuta不変量Ψ(W#X, s_ω#s_X)は非ゼロであり、BF(X,s_X)に等しい。
• 標準接触構造(S³, ξ_std)のシンプレクティックキャップに対して、ベネンキン型不等式が確立され、ゲージ理論的道具がより広いクラスの4次元多様体へ拡張された。
• 任意の弱シンプレクティック的に充填可能な3次元多様体は、少なくとも2つの異なる滑らか構造を持つ4次元多様体を境界として持つ。これは非ゼロ不変量によって検出される。
• 不変量はエキゾチックなペアを検出する：例えば、X = W#K3#ℂℙ² と X′ = W#3ℂℙ²#20ℂℙ² は同相であるが微分同相でない。Ψ(X′,ξ)=0 である一方で Ψ(X,ξ)≠0 である。