[論文レビュー] An algebraic model for mod 2 topological cyclic homology

Kathryn Hess|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、単連結で有限型のCW複体 $ X $ に対して、自由ループ空間とそのホモトピー軌道をモデル化するコチェイン複体を定義することにより、$ X $ の mod 2 トポロジカル循環ホモロジーの代数的モデルを構成する。主な貢献は、$ TC(X;2) $ の mod 2 スペクトラムコホモロジーを計算する mod 2 コホモロジーを持つコチェイン複体 $ tc^*(X) $ の構成であり、特に $ S^{2n+1} $ に対して明示的な計算がなされ、$ \mathbb{F}_2 $ 上の特定の次数付き構造が得られる。

ABSTRACT

For any space X with the homotopy type of simply-connected, finite-type CW-complex, we construct an associative cochain algebra fls(X) whose cohomology algebra is isomorphic to that of LX, the free loop space on X. For certain X, we define a cochain map from fls(X) to itself that is a good model of the pth-power operation on LX. Under additional conditions on X, e.g., when X is a wedge of spheres, we define a cochain complex hos(X) by twisting together fls(X) and H*(BS^1) and prove that the cohomology of hos(X) is isomorphic to the Borel cohomology of LX. Finally, we define tc(X) to be the mapping cone of the composite of the projection map from hos(X) to fls(X) with the model of the pth-power map (for p=2), so that the mod 2 spectrum cohomology of TC(X;2), the topological cyclic homology of X at 2, is isomorphic to the mod 2 cohomology of tc(X). We conclude by calculating the mod 2 spectrum homology of TC(S^{2n+1}; 2).

研究の動機と目的

• 単連結で有限型のCW複体 $ X $ に対して、$ X $ の mod 2 トポロジカル循環ホモロジーの代数的コチェインモデルを構成すること。
• 自由ループ空間 $ \mathcal{L}X $ 及びそのホモトピー軌道空間 $ \mathcal{L}X_{hS^1} $ のコホモロジーを、ねじれたコチェイン複体を用いて代数的にモデル化すること。
• $ \mathcal{L}X $ 上の $ p^\text{th} $-乗算作用（$ p=2 $ の場合）をモデル化するコチェイン写像を定義すること。これは $ TC(X;2) $ を構成するために不可欠である。
• $ TC(X;2) $ の mod 2 スペクトラムコホモロジーを実現するコホモロジーを持つコチェイン複体 $ tc^*(X) $ を定義することにより、計算可能な代数的モデルを提供すること。
• $ S^{2n+1} $ に対して、構築したモデルを用いて $ \operatorname{H}^*(TC(S^{2n+1};2);\mathbb{F}_2) $ を明示的に計算し、$ \mathbb{F}_2 $ 上の特定の次数付きベクトル空間構造を明らかにすること。

提案手法

• $ X $ のコチェイン代数上のバー代数を用いて、$ \operatorname{H}^*(fls^*(X)) \cong \operatorname{H}^*(\mathcal{L}X) $ となるような結合的コチェイン代数 $ fls^*(X) $ を構成する。
• $ fls^*(X) $ と $ \operatorname{H}^*(BS^1) $ を組み合わせたねじれた複体 $ hos^*(X) $ を定義し、$ S^1 $-作用と $ p^\text{th} $-乗算作用を含む微分を導入する。
• $ X $ の対角写像によって誘導される $ \psi_K^\sharp \chi $-写像を用いて、$ \mathcal{L}X $ 上の $ p^\text{th} $-乗算作用を $ fls^*(X) $ 上のコチェイン写像としてモデル化する。
• $ tc^*(X) $ を、射影 $ hos^*(X) \to fls^*(X) $ と $ p^\text{th} $-乗算写像のモデルの合成のマッピングコーンとして定義し、微分 $ D_{\tilde{\pi}} $ を用いてホモトピー・プルバック構造を符号化する。
• $ tc^*(X) $ の $ \mathbb{F}_2 $-線形化を用いて $ \operatorname{H}^*(tc^*(X) \otimes \mathbb{F}_2) $ を計算し、これは $ \operatorname{H}^*(TC(X;2);\mathbb{F}_2) $ と同型であることを示す。
• $ S^{2n+1} $ に対しては、その最小コチェインモデル $ \Lambda z $ を用い、$ tc^*(S^{2n+1}) $ のコホモロジーを mod 2 で明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結で有限型のCW複体に対して、mod 2 トポロジカル循環ホモロジーの代数的コチェインモデルを構成できるか？
• RQ2 自由ループ空間 $ \mathcal{L}X $ 及びそのホモトピー軌道空間 $ \mathcal{L}X_{hS^1} $ のコホモロジーを、ねじれたコチェイン複体を用いて代数的にモデル化できるか？
• RQ3 $ \mathcal{L}X $ 上の $ p^\text{th} $-乗算作用の代数的構造は何か？ また、これをコチェイン写像としてどのように符号化できるか？
• RQ4 $ TC(X;2) $ の mod 2 スペクトラムコホモロジーを計算するコホモロジーを持つコチェイン複体が存在するか？ また、球面に対しては明示的に構成可能か？
• RQ5 $ TC(S^{2n+1};2) $ の明示的な mod 2 コホモロジーは何か？ また、そのモデルの代数的構造はどのように反映されるか？

主な発見

• $ fls^*(X) $ は自由ループ空間 $ \mathcal{L}X $ のコホモロジーをモデル化し、$ \operatorname{H}^*(fls^*(X)) \cong \operatorname{H}^*(\mathcal{L}X) $ が代数として同型である。
• $ hos^*(X) $ はホモトピー軌道空間 $ \mathcal{L}X_{hS^1} $ のコホモロジーをモデル化し、$ \operatorname{H}^*(hos^*(X)) \cong \operatorname{H}^*(\mathcal{L}X_{hS^1}) $ が次数付きモジュールとして同型である。
• $ \mathcal{L}X $ 上の $ p^\text{th} $-乗算作用は、$ fls^*(X) $ 上のコチェイン写像としてモデル化され、$ \Gamma sz $ 上での $ \psi_K^\sharp \chi $ の作用は $ \psi_K^\sharp \chi(sz(m)) = 2^m sz(m) $ で与えられる。
• $ tc^*(X) $ は、射影 $ hos^*(X) \to fls^*(X) $ と $ p^\text{th} $-乗算モデルの合成のマッピングコーンとして定義され、$ \operatorname{H}^*(tc^*(X) \otimes \mathbb{F}_2) \cong \operatorname{H}^*(TC(X;2);\mathbb{F}_2) $ が成り立つ。
• $ X = S^{2n+1} $ の場合、$ TC(S^{2n+1};2) $ の mod 2 コホモロジーは、次数付きベクトル空間として $ \bigoplus_{k \geq 1, m \geq 0} \mathbb{F}_2 \cdot s(v^k \otimes sz(2m)) \oplus \bigoplus_{k \geq 0, m \geq 0} \mathbb{F}_2 \cdot s(v^k \otimes x \otimes sx(2m+1)) \oplus \bigoplus_{m \geq 0} \mathbb{F}_2 \cdot s(v \otimes sz(2m+1)) $ と同型である。
• mod 2 において、微分 $ D_{\tilde{\pi}} $ は簡略化され、$ m $ が奇数のとき $ D_{\tilde{\pi}}(s(1 \otimes z \otimes sz(m))) = z \otimes sz(m) $ が成り立ち、$ m $ が偶数のとき $ s(\upsilon \otimes 1 \otimes sz(m+1)) $ の項を含む。