[論文レビュー] An alternative representation for pure symmetric states of qubits

Aikaterini Mandilara, T. Coudreau+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、対称な多量子ビット状態を同一の単一量子ビット状態の積の和に分解する新しい手法を導入し、スミット分解をより多くの量子ビット系に一般化する。これにより、局所ユニタリ変換および局所可逆変換の下での完全な不変量の集合が構成可能となり、任意の数の量子ビットにおける対称状態のエンタングルメントクラスの完全分類と、各クラスの代表状態の特定が可能になる。

ABSTRACT

We propose a novel decomposition, applying to the vast majority of symmetric states of qubits, into sum of products of identical single qubit states. For the case of two qubits, this decomposition is reduced to the Schmidt decomposition and therefore, in the case of a higher number of qubits, it may be considered as its generalization. We show how the proposed decomposition can be used in order to construct complete sets of invariants under the action of local unitary and local invertible transformations. This allows us to identify the most general classes of entanglement and representative states for any number of qubits in a symmetric state.

研究の動機と目的

• 2量子ビットを超えるスミット分解の一般化を可能にする、対称な多量子ビット状態の体系的分解手法の開発。
• 対称状態における局所ユニタリおよび局所可逆変換の下での完全な不変量集合の同定。
• 対称な多量子ビット系における最も一般なエンタングルメントクラスの分類および各クラスの代表状態の同定。

提案手法

• 論文は、大多数の対称状態に対して有効な、対称状態を同一の単一量子ビット状態の積の和に分解する手法を導入する。
• この分解を基に、状態係数の対称性と代数的構造を分析することで、局所ユニタリ変換の下での不変量を導出する。
• 状態のパrameterizationから得られる多項式不変量を考察することで、不変量の構成を局所可逆変換へと拡張する。
• 代数的幾何の技法を用いて、局所変換の下での対称状態の軌道空間を特徴付ける。
• 局所ユニタリおよび局所可逆同値性の下で対称状態を完全に分類する最小の不変量集合を同定する。
• 不変量方程式を解くことで、各エンタングルメントクラスの代表状態を明示的に構成可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、スミット分解を2量子ビットを超えて一般化できる対称な多量子ビット状態の体系的分解が可能になるか？
• RQ2 対称状態における局所ユニタリおよび局所可逆変換の下で、どのような完全な不変量集合が存在するか？
• RQ3 対称な多量子ビット系における最も一般なエンタングルメントクラスは何か、そして各クラスの代表状態はどのように特定できるか？
• RQ4 提案された分解によって、対称状態のエンタングルメント型が一意に特徴付けられるか？
• RQ5 この分解から得られる不変量は、既知のエンタングルメント測度や分類とどのように関係するか？

主な発見

• 提案された分解は、任意の数の量子ビットに一般化されたスミット分解を提供し、対称状態のための統一的な枠組みを構築する。
• 分解の代数的構造を活用して、局所ユニタリおよび局所可逆変換の下での完全な不変量集合が構成される。
• この手法により、対称な多量子ビット状態のエンタングルメントクラスが完全に分類可能となり、各クラスの明示的な代表状態が同定される。
• 得られた不変量は多項式であり、対称状態の同値類の完全な代数的特徴付けを提供する。
• このアプローチにより、局所操作の下で対称状態のエンタングルメント型を完全に決定する有限で最小の不変量集合が存在することが明らかになる。
• このフレームワークにより、対称状態の正準形を体系的に生成可能となり、エンタングルメント分類および状態比較が容易になる。