[論文レビュー] An Analog Analogue of a Digital Quantum Computation

Edward Farhi, Sam Gutmann|ArXiv.org|Dec 6, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、N次元ヒルベルト空間内のマークされた量子状態 |w⟩ を、目的のハミルトニアン E|w⟩⟨w| と駆動ハミルトニアン E|s⟩⟨s| の組み合わせから成る時間に依存するハミルトニアンのもとで時間発展させることで、N^{1/2}/E 比例の時間で同定するアナログ量子計算モデルを提示する。これは、デジタル量子アルゴリズムにおけるグローバーの二次的高速化を、連続時間的・アナログ的枠組みで再現したものである。

ABSTRACT

We solve a problem, which while not fitting into the usual paradigm, can be viewed as a quantum computation. Suppose we are given a quantum system described by an N dimensional Hilbert space with a Hamiltonian of the form $E |w >< w|$ where $| w>$ is an unknown (normalized) state. We show how to discover $| w >$ by adding a Hamiltonian (independent of $| w >$) and evolving for a time proportional to $N^{1/2}/E$. We show that this time is optimally short. This process is an analog analogue to Grover's algorithm, a computation on a conventional (!) quantum computer which locates a marked item from an unsorted list of N items in a number of steps proportional to $N^{1/2}$.

研究の動機と目的

• 非構造的探索問題（N次元ヒルベルト空間内のマークされた状態 |w⟩ を特定すること）を、離散的量子ゲートに依存せずに、連続時間的・アナログ的量子計算によって解くこと。
• 組み合わせハミルトニアンのもとでの時間発展演算によって |w⟩ を同定するのに要する時間が、グローバーのデジタルアルゴリズムの N^{1/2} スケーリングと最適に一致することを示すこと。
• シュレーディンガー方程式に従う物理的系を構築することで、初期状態 |s⟩ から |w⟩ へ最小時間で発展するアナログ版グローバー・アルゴリズムを確立すること。
• 時間エネルギー不確定性原理に基づく下界を用いて、与えられた制約のもとで、より速い時間発展演算が存在しないことを証明すること。

提案手法

• 系は、未知のマークされた状態 |w⟩ と直交するとは限らない既知の状態 |s⟩ で初期化され、その内積は ⟨s|w⟩ = x である。
• 合計ハミルトニアン H = H_w + H_D を構築する。ここで H_w = E|w⟩⟨w| はターゲット状態をマークし、H_D = E|s⟩⟨s| は |w⟩ に依存しない駆動場を表す。
• H における時間発展演算は、|s⟩ と |w⟩ で張られる2次元部分空間において分析され、時間に依存する状態 |ψ_w,t⟩ = e^{-iHt}|s⟩ が得られる。
• 時間 t における |w⟩ を測定する確率は P(t) = sin²(Ext) + x²cos²(Ext) であり、ピークは t_m = π/(2Ex) で発生する。これは E[x²] ≈ 1/N であるため、N^{1/2}/E のスケーリングを示す。
• 最適時間境界は変分的議論により導出される：異なる |w⟩ に対する状態の発展における距離の変化率は 2EN^{1/2} で抑えられ、下界 t ≥ εN^{1/2}/(2E) が得られる。
• 証明は時間エネルギー不確定性原理と、すべての可能な |w⟩ 状態への和に依存しており、高精度ですべての |w⟩ 状態を区別できるより速い発展演算が存在しないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間的量子系は、N次元ヒルベルト空間内のマークされた状態 |w⟩ を、グローバーのデジタルアルゴリズムと同等の時間複雑度で同定できるか？
• RQ2 アナログハミルトニアンによる時間発展演算による状態同定に要する時間は、最適に短く、かつ厳密に証明可能か？
• RQ3 初期状態 |s⟩ の選択とその重なり係数 x = ⟨s|w⟩ は、高精度な状態準備に要する時間にどのように影響を与えるか？
• RQ4 離散的ユニタリゲートを用いずに、アナログモデルがグローバーのアルゴリズムと同等の N^{1/2} スケーリングを達成できるか？
• RQ5 1つの駆動ハミルトニアンを用いて、すべての可能なマークされた状態 |w⟩ を区別するのに必要な時間の根本的下限は何か？

主な発見

• 連続時間的発展演算によるマークされた状態 |w⟩ の同定に要する時間は O(N^{1/2}/E) であり、グローバーのデジタル量子アルゴリズムの最適スケーリングと一致する。
• 最適時間 t_m = π/(2Ex) では |w⟩ を測定する確率が1に達し、E[x²] ≈ 1/N であるため、期待時間は O(N^{1/2}/E) にスケーリングする。
• |w⟩, |r⟩ 基底における有効ハミルトニアンの固有値ギャップは 2xE であり、これは O(E/N^{1/2}) に相当し、時間エネルギー不確定性原理と整合的である。
• 厳密な下界 t ≥ εN^{1/2}/(2E) が導出され、与えられた制約のもとで、すべての可能な |w⟩ 状態を高精度で区別できるより速い発展演算が存在しないことが証明され、最適性が確認される。
• アナログモデルは、離散的ユニタリステップではなく連続時間発展演算によって、グローバーのアルゴリズムと同等の二次的高速化を達成する。
• |s⟩ の選択にかかわらず、平均的な重なり係数 x が N^{-1/2} のオーダーであれば、結果は成り立つ。これは、高次元空間におけるランダム状態の典型的な性質である。