[論文レビュー] An analogue of Eulerian polynomials related to L-type function

Serkan Aracı, Mehmet Açıkgöz+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 22被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、p進整数上のp進フェルミオンq積分を用いて、ディリクレ型のねじれたオイラー多項式を導入し、その母関数とウィット型の公式を導出し、メリン変換を用いてねじれたオイラー多項式のL関数を定義する。主な結果として、このL関数が負の整数においてねじれたオイラー多項式を補間することを示し、線形積分と留数計算を用いて関数方程式を確立する。

ABSTRACT

In the present paper, we effect Dirichlet's type of twisted Eulerian polynomials by using p-adic fermionic q-integral on the p-adic integer ring. Also, we introduce some new interesting identities for them. As a result of them, by using contour integral on the generating function of Dirichlet's type of twisted Eulerian polynomials and so we define twisted Eulerian-L-function which interpolates of Dirichlet's type of Eulerian polynomials at negative integers which we state in this paper.

研究の動機と目的

• Zp 上のp進フェルミオンq積分を用いて、ディリクレ型のねじれたオイラー多項式を定義し、その性質を研究すること。
• これらの多項式の母関数とウィット型の公式を導出すること。
• 母関数のメリン変換を用いてねじれたオイラーL関数を構成すること。
• L関数を用いてねじれたオイラー多項式が負の整数においてどのように補間されるかを確立すること。
• p進解析、特殊関数、および数論におけるL関数の間の関係を調査すること。

提案手法

• Zp 上のp進フェルミオンq積分を用いて、母関数を介してねじれたオイラー多項式を定義する。
• 式 (5) の積分方程式と平行移動性質を適用し、多項式のウィット公式 (12) を導出する。
• 線形積分とコーシーの留数定理を用いて、母関数とL関数を関連付ける。
• 母関数のメリン変換を用いて、ねじれたオイラーL関数 LE,ζ(s, χ) を定義する。
• 解析接続と留数計算を用いて、関数方程式 LE,ζ(−n, χ) = (−1)^n An,χ,ζ(−q) を導出する。
• テイラー展開と級数の変形を用いて、母関数を指数関数的およびべき級数の形に表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてp進フェルミオンq積分を用いて、ディリクレ型のねじれたオイラー多項式を定義できるか？
• RQ2 これらのねじれた多項式の母関数とウィット型の公式は何か？
• RQ3 母関数からどのようにしてねじれたオイラーL関数を構成できるか？
• RQ4 L関数は、負の整数においてどのようにしてねじれたオイラー多項式を補間するか？
• RQ5 L関数と多項式との間の関数的関係は、負の整数においてどのように表れるか？

主な発見

• ディリクレ型のねじれたオイラー多項式の母関数は、Gq,ζ(t | χ) = [2]q ∑_{l=0}^{d−1} (−1)^l q^{d−l+1} ζ^l χ(l) / (ζ^d e^{−d(1+q)t} + q^d) で与えられる。
• すべての n ∈ ℕ∗ に対して、ウィットの公式 I_{−q^{−1}}(ζ^x χ(x) x^n) = (−1)^n / (1+q)^n ⋅ A_{n,χ,ζ}(−q) が成り立つ。
• ねじれたオイラーL関数は、LE,ζ(s, χ) = q / (1+q)^{s−1} ∑_{m=1}^∞ (−1)^m χ(m) ζ^m / (q^m m^s) として定義される。
• すべての n ∈ ℕ に対して、L関数は補間性質 LE,ζ(−n, χ) = (−1)^n A_{n,χ,ζ}(−q) を満たす。
• 乗法公式が導出され、(−1)^n / (1+q)^n A_{n,χ,ζ}(−q) = d^n / [d]_{−q^{−1}} ∑_{a=0}^{d−1} (−1)^a χ(a) ζ^a q^{−a} ∫_{Z_p} (a/d + x)^n dμ_{−q^{−1}}(x) が成り立つ。
• q → 1 の極限において、An,χ,ζ(−1) = (−2d)^n ∑_{a=0}^{d−1} (−1)^a χ(a) ζ^a E_{n,ζ^d}(a/d) が得られ、一般化されたオイラー数と関連づけられる。