[論文レビュー] An analogue of the Cartan decomposition for p-adic reductive symmetric spaces

Patrick Delorme, Vincent Sécherre|ArXiv.org|Dec 19, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、奇数の残渣位数をもつ非アーケメーディアン局所体 $k$ 上の再帰的群 $\mathrm{G}$ と、対合 $\sigma$ の固定点群である開部分群 $\mathrm{H}$ を持つ $\mathrm{H}_k\backslash\mathrm{G}_k$ という $p$-進再帰的対称空間に対して、カルタン分解の類似を確立する。この分解は、$\mathrm{H}_k$-共役類としての最大の $\sigma$-反不変 $k$-分裂トーラスによってパラメトライズされ、$\mathrm{G}$ が $k$-分裂の場合、ブルハット＝ティッツの建物内の特別点の安定化部分群を用いた精密化が行われる。

ABSTRACT

Let F be a non Archimedean locally compact field of residue characteristic different from 2, let G be a connected reductive group defined over F, let s be an involutive F-automorphism of G and H an open F-subgroup of the fixed points group of s. We denote by G(F) (resp. H(F)) the group of F-points of G (resp. H). In this paper, we obtain an analogue of the Cartan decomposition for the reductive symmetric space G(F)/H(F). More precisely, we obtain a decomposition of G(F) as a union of H(F)-cosets which is related to the H(F)-conjugacy classes of maximal s-anti-invariant F-split tori in G. When G is F-split, we get a more precise result, involving the stabilizer of a special point of the Bruhat-Tits building of G over F.

研究の動機と目的

• $p$-進再帰的対称空間 $\mathrm{H}_k\backslash\mathrm{G}_k$ の文脈に古典的カルタン分解を拡張すること。
• $\sigma$-反不変トーラスの構造を反映する $\mathrm{H}_k$-コセットへの $\mathrm{G}_k$ の幾何的分解を提供すること。
• $\mathrm{G}$ が $k$-分裂の場合、$\mathrm{G}$ のブルハット＝ティッツ建物内の特別点の安定化部分群を用いて分解を精緻化すること。
• $\mathrm{H}_k$-共役類としての $\sigma$-パラボリック部分群と、最大の $\sigma$-反不変トーラスに付随するワイル群との関係を特定すること。

提案手法

• $\mathrm{G}$ における最大の $\sigma$-反不変 $k$-分裂トーラスの $\mathrm{H}_k$-共役類を用いて分解をパラメトライズすること。
• 各代表的トーラス $\mathrm{A}^j$ に対して、ワイル群 $\mathrm{W}_{\mathrm{G}_k}(\mathrm{A}^j)$ 及びその $\mathrm{H}_k$-部分群 $\mathrm{W}_{\mathrm{H}_k}(\mathrm{A}^j)$ を用いること。
• $\mathrm{W}_{\mathrm{H}_k}(\mathrm{A}^j)\backslash\mathrm{W}_{\mathrm{G}_k}(\mathrm{A}^j)$ の二重コセットの代表元 $\mathscr{N}_j$ を構成すること。
• $\mathrm{G}_k$ の特別点への作用とブルハット＝ティッツ建物の構造を活用し、$k$-分裂の場合の分解を精緻化すること。
• コhomology的技法を用いて $\mathrm{H}^1(\mathrm{N}_k)$ を解析し、非分裂例における二重コセットと関係づけること。
• $\mathrm{GL}_n$ の場合に、明示的な行列構成（例：$u_i$）を用いてコサイクルを実現し、コhomology的自明性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的カルタン分解はどのように $p$-進再帰的対称空間に一般化できるか？
• RQ2 $\mathrm{H}_k$-共役類としての最大の $\sigma$-反不変 $k$-分裂トーラスは、$\mathrm{G}_k$ の分解をパラメトライズする上で果たす役割は何か？
• RQ3 $\mathrm{G}$ が $k$-分裂の場合、ブルハット＝ティッツ建物を用いて分解をより精緻化できるか？
• RQ4 $\mathrm{G}_k$ の二重コセット構造とパラボリック部分群のコホモロジーとの関係は何か？
• RQ5 非分裂の場合に分解が失敗する場合があるのか、その幾何的条件は何か？

主な発見

• $\mathrm{G}_k$ は、$\mathrm{G}$ における最大の $\sigma$-反不変 $k$-分裂トーラスの $\mathrm{H}_k$-共役類によってインデックスづけられた有限個の $\mathrm{H}_k$-コセットの和集合として分解可能である。
• $\mathrm{A}^j$ に対して、二重コセット空間 $\mathrm{W}_{\mathrm{H}_k}(\mathrm{A}^j)\backslash\mathrm{W}_{\mathrm{G}_k}(\mathrm{A}^j)$ が分解における $\mathrm{H}_k$-軌道をパラメトライズする。
• $\mathrm{G}$ が $k$-分裂の場合、$\mathrm{G}$ のブルハット＝ティッツ建物における特別点の安定化部分群を用いて分解が精緻化される。
• $\mathrm{GL}_n$ の場合、二次拡大上では分解が $\mathrm{G}_k = \bigcup_{i=0}^{[n/2]} \mathrm{H}_k u_i \mathrm{Z}_k \mathrm{K}$ と与えられ、$u_i$ が $\sigma$-コサイクル $\tau_i$ を実現する。
• $\mathrm{H}^1(\mathrm{N}_k)$ は $({\rm H}_k,\mathrm{N}_k)$-二重コセットを分類し、すべてのコサイクルが自明なコホモロジー類に同値であることが確認され、分解構造が裏付けられる。
• 反例として、特別点が $\sigma$-不変でない場合、例えば $k'$ が $k$ に対して完全に分岐するときの $\mathrm{G} = \mathrm{Res}_{k'/k}\mathrm{GL}_2$ のような非分裂例では、分解が成立しないことが示される。