[論文レビュー] An analogue of the plactic monoid for binary search trees

Florent Hivert, Jean-Christophe Novelli+1 more|ArXiv.org|Jun 24, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、ヤング盤に対する古典的プラキックモノイドと類似する、ラベル付き二分探索木上のプラキックに類似したモノイド構造を導入する。二分探索木への挿入を用いてロビンソン＝シェンステッド型の対応を定義することで、平面的二分木のロダヤ＝ロンコ代数の新たな実現が得られ、木の形状が固定された置換の集合がスルヴェルトクラスに対応することを示し、主要指数を用いた木の列挙式のqアナログを導出する。

ABSTRACT

We introduce a monoid structure on a certain set of labelled binary trees, by a process similar to the construction of the plactic monoid. This leads to a new interpretation of the algebra of planar binary trees of Loday-Ronco.

研究の動機と目的

• ヤング盤から二分探索木へのプラキックモノイド構成の拡張。
• 非可換多項式を用いた平面的二分木のロダヤ＝ロンコ代数の新たな代数的実現。
• 置換と二分探索木の間のロビンソン＝シェンステッド対応に類似した組合せ的対応の確立。
• スルヴェルトクラスに属する置換の主要指数を用いた、二分探索木の数のqアナログの導出。
• ロダヤ＝ロンコ代数の双対を、自由キラリスティック関数代数の商として特徴づける。

提案手法

• 標準挿入によって同じ二分探索木を生成する置換を同定することにより、置換上のスルヴェルト同値関係を定義する。
• 語の順序の逆標準化を用いて語から二分探索木への写像を構成し、木の形状と内容を形成する。
• 挿入によって木 $T$ を得るすべての語の和として多項式基底 $\mathbf{P}_T$ を定義し、ロダヤ＝ロンコ代数の乗法的基底を構成する。
• ロビンソン＝シェンステッド型挿入アルゴリズムを用いて、語 $w$ から木 $\mathcal{P}(w)$ を計算する。挿入は根と比較し、左または右部分木に再帰的に配置する。
• 自由代数 $\mathbb{C}\langle A\rangle$ から $\mathbb{C}[\mathrm{Sylv}(A)]$ への射影 $\pi$ を用いて、平面的二分木代数とその双対の間に双対性を確立し、双対基底 $\mathbf{Q}_T = \pi(\mathbf{G}_{w_T})$ を特定する。
• 固定された木の形状 $T$ を持つすべての置換 $\sigma$ に対して $q^{\mathrm{maj}(\sigma)}$ を合計することにより、木の数のqアナログを導出する。その結果、$\sum_{\mathcal{P}(\sigma)=T} q^{\mathrm{maj}(\sigma)} = \frac{[n]_q!}{\prod_{\circ \in T} q^{\delta_\circ} [h_\circ]_q}$ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤング盤に対する古典的プラキックモノイドに類似した、二分探索木に対するプラキックモノイド的構造を定義できるか？
• RQ2 置換上のスルヴェルト同値関係は、二分探索木の構造とどのように関係するか？
• RQ3 与えられた形状の二分探索木の数のqアナログは、対応する置換の主要指数を重みとしてどのように得られるか？
• RQ4 平面的二分木のロダヤ＝ロンコ代数は、自由キラリスティック関数代数内にどのように実現できるか？
• RQ5 ロダヤ＝ロンコ代数の双対の構造は何か？ また、スルヴェルト商とどのように関係するか？

主な発見

• 二分探索木 $T$ のスルヴェルトクラスは、ちょうど $\mathcal{P}(\sigma) = T$ を満たす置換 $\sigma$ の集合に一致し、これは置換の弱順序における区間をなす。
• 特定の木の形状 $T$ を持つ置換の数は、公式 $\frac{n!}{\prod_{\circ \in T} h_\circ}$ で与えられる。ここで $h_\circ$ は $\circ$ を根とする部分木のサイズである。
• このような置換の数のqアナログは、$\sum_{\mathcal{P}(\sigma)=T} q^{\mathrm{maj}(\sigma)} = \frac{[n]_q!}{\prod_{\circ \in T} q^{\delta_\circ} [h_\circ]_q}$ で与えられ、ここで $\delta_\circ$ は $\circ$ の右部分木のサイズである。
• ロダヤ＝ロンコ代数 $\mathbf{PBT}^*$ の双対は、商代数 $\mathbb{C}[\mathrm{Sylv}(A)]$ に同型であり、双対基底は $\mathbf{Q}_T = \pi(\mathbf{G}_{w_T})$ で与えられる。
• 代数 $\mathbf{PBT}$ 内での積 $\mathbf{P}_{T'} \mathbf{P}_{T''}$ はスルヴェルト則に従う：$\mathbf{P}_{T'} \mathbf{P}_{T''} = \sum_{T \in \mathrm{Sh}(T',T'')} \mathbf{P}_T$ であり、ここで $\mathrm{Sh}(T',T'')$ はスルヴェルト挿入則を用いて得られる木の集合である。
• 要素 $\mathbf{P}_T$ はロダヤ＝ロンコ代数の乗法的基底をなし、対応する双対基底 $\mathbf{Q}_T$ は双対代数の基底を提供する。両者を結ぶカウチ型の恒等式が成り立つ。