[논문 리뷰] An Analysis of the Quasi-Nonlocal Quasicontinuum Approximation of the Embedded Atom Model

Xingjie Helen Li, Mitchell Luskin|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 21.

Microstructure and mechanical properties참고 문헌 23인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다음 근처 이웃 상호작용을 고려한 일차원에서의 임베디드 아톰 모델(EAM)에 대한 준국소적 유한요소유한모형(QNL) 방법을 분석한다. 짝력함수, 전자 밀도 함수, 임베딩 함수에 대한 조건을 설정하여 원자모형과 EAM-QNL 모형 간의 점점 같은 격자 안정성을 보장하고, 음의 노름 오차 추정을 통해 연속 영역에서 변형 오차의 최적의 O(ε³/²) 수렴 속도를 도출한다.

ABSTRACT

The quasi-nonlocal quasicontinuum method (QNL) is a consistent hybrid coupling method for atomistic and continuum models. Embedded atom models are empirical many-body potentials that are widely used for FCC metals such as copper and aluminum. In this paper, we consider the QNL method for EAM potentials, and we give a stability and error analysis for a chain with next-nearest neighbor interactions. We identify conditions for the pair potential, electron density function, and embedding function so that the lattice stability of the atomistic and the EAM-QNL models are asymptotically equal.

연구 동기 및 목표

• 임베디드 아톰 모델(EAM)에 대한 일致적인 유한요소유한모형을 개발하여 균일한 변형에서 유령력(ghost forces)을 제거한다.
• 다음 근처 이웃 상호작용을 고려한 일차원 사슬에서 EAM-QNL 근사의 안정성과 수렴성을 분석한다.
• 원자모형과 QNL 모형 간의 점점 같은 격자 안정성을 보장하는 EAM 잠재력 구성요소(짝력함수, 전자 밀도, 임베딩 함수)에 대한 조건을 규명한다.
• 음의 노름 추정을 사용하여 연속 영역에서 변형 오차의 최적 수렴 속도를 유도한다.

제안 방법

• 임베디드 아톰 모델(EAM)에 대한 일차원 준국소적 유한요소유한모형(QNL) 에너지를 수립하여 QNL 프레임워크를 다체 잠재력으로 확장한다.
• 에너지가 카우시-본 규칙에 기반한 원자 영역과 연속 영역 간의 일致적인 결합을 통해 정의된 선형화 모델을 사용하여 안정성과 수렴성을 분석한다.
• 일치 오차를 유한한 오차 추정으로 제한하기 위해 음의 노름 추정 기법을 적용하여 최적의 오차 추정을 가능하게 한다.
• 이산 푸리에 분석과 에너지 기반 노름을 통해 안정성 추정을 유도하여 격자 불안정성 근처에서도 모델이 잘 정의됨을 보장한다.
• ℓ²₆ 노름에서 변형 오차 추정을 도입하여, 연속 영역에서 변형의 매끄러움에 따라 수렴 속도가 달라짐을 보인다.
• 헤시안의 스펙트럼 분석을 통해 EAM-QNL 모형이 원자모형과 동일한 격자 안정성을 유지하는 조건을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝력함수, 전자 밀도 함수, 임베딩 함수에 어떤 조건이 충족되어야 EAM-QNL 모형의 격자 안정성이 원자모형과 점점 같아지는가?
• RQ2 QNL 방법이 EAM 잠재력에 적용될 때, 균열 전파와 같은 격자 불안정성 근처에서도 변형 오차에 대해 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 원자모형과 QNL 모형 간의 일치 오차는 격자 간격 ε에 따라 어떻게 변화하며, 음의 노름 기법을 사용하여 이를 제한할 수 있는가?
• RQ4 규명된 안정성 조건을 위반할 경우 QNL 근사의 정확성과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 짝력함수, 전자 밀도 함수, 임베딩 함수가 특정 매끄러움과 곡률 조건을 만족할 경우, EAM-QNL 모형의 격자 안정성은 원자모형과 점점 같아진다.
• 원자모형과 EAM-QNL 모형 간의 변형 오차는 ℓ²₆ 노름에서 최적의 O(ε³/²) 수렴 속도를 보이며, 이는 연속 영역에서 변형의 매끄러움에만 의존한다.
• 일치 오차는 음의 노름 추정을 통해 제한되며, 결함 형성과 같은 격자 불안정성 근처에서도 유효한 오차 추정을 제공한다.
• 안정성 조건을 위반할 경우, EAM-QNL 모형은 국소 유한요소유한모형(EAM-QCL) 모형보다 덜 안정해질 수 있으며, 이는 유도된 조건의 필요성을 시사한다.
• 안정성 조건 ÂF + ȚF > 0 하에서 선형화된 EAM-QNL 모형은 유일한 해를 가짐을 보여, 선형화된 시스템의 잘 정의됨을 보장한다.
• 이전의 짝력함수 결과를 EAM 경우로 일반화하여 QNL 방법이 제어된 오차와 안정성을 유지하면서 다체 잠재력으로 확장될 수 있음을 입증한다.