[論文レビュー] An anticipating Itô formula for Lévy processes

Elisa Alòs, Jorge A. Leòn+1 more|ArXiv.org|Jul 31, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、カノニカルなLévy空間におけるMalliavin微分を用いて、Lévy過程のための予見的でないItô公式を確立し、古典的Itô公式を非適応過程へと拡張する。主な貢献は、連続部の確率積分がSkorohodの意味で、ジャンプ部が経路に沿って定義される変数変換の公式であり、Malliavin的意味での「未来」微分を持つ係数に対して有効であり、Wiener空間上での適応的および予見的でないItô公式を一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we use the Malliavin calculus techniques to obtain an anticipative version of the change of variable formula for Lévy processes. Here the coefficients are in the domain of the anihilation (gradient) operator in the "future sense", which includes the family of all adapted and square-integrable processes. This domain was introduced on the Wiener space by Alòs and Nualart.

研究の動機と目的

• Lévy過程の文脈において、非適応的（予見的でない）係数への古典的Itô公式の拡張を目的とする。
• Malliavin微分を用いて、非適応的被積分関数を扱えるLévy過程のための確率積分の枠組みを構築すること。
• 連続部のSkorohod積分とジャンプ部の経路積分を、一つの変数変換の公式に統合すること。
• 「未来」微分を持つ二乗可積分過程のクラスを定義・特徴づけ、適応過程を一般化すること。
• Lévy測度に関する積分可能性条件の下で、有効である厳密な予見的でないItô公式を確立すること。特に、∫|x|dν(x) < ∞ のときを想定する。

提案手法

• Solé, Utzet, および Vives (2003) が定義したカノニカルLévy空間フレームワークを用いて、Lévy過程のMalliavin微分と発散作用素を定義する。
• 特に勾配（微分）作用素と発散（Skorohod積分）作用素を用いたMalliavin微分の技法を、非適応的過程に適用する。
• 勾配作用素の定義域を、未来の微分を持つ過程を含むように定義し、適応過程を超えるクラスに拡張する。
• ウィener混沌分解と確率積分の経路的特徴づけを用いて、Lévy過程のジャンプ部を扱う。
• Lévy-Itô分解を用いて、過程の連続部とジャンプ部を分離する。
• 等長性と収束の議論（優越収束およびL2収束を用いて）を用いて、公式の導出における極限操作の正当化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被積分関数がフィルトレーションに対して非適応的である場合、Lévy過程に対して予見的でないItô公式を導出可能か？
• RQ2 Malliavin微分は、未来の微分を持つ非適応的被積分関数を扱えるように、Lévy過程へとどのように拡張可能か？
• RQ3 予見的でない設定において、Lévy過程の連続部およびジャンプ部の正しい確率積分の定式化は何か？
• RQ4 Skorohod積分と経路積分は、Lévy過程の変数変換の公式において、どのように統合されるか？
• RQ5 Lévy測度に関するどのような積分可能性条件が、予見的でないItô公式の有効性を保証するか？

主な発見

• 本論文は、Lévy過程のための新たな予見的でないItô公式を確立し、古典的適応的Itô公式およびWiener空間上での予見的でない公式を一般化する。
• 公式は、勾配作用素の定義域に属する係数に対して有効であり、すべての適応的で二乗可積分な過程を含み、適応的ケースでは微分がゼロとなる。
• 連続部に対する確率積分はSkorohodの意味で定義され、ジャンプ部は経路積分として取り扱われ、Lévy-Itô分解と整合的である。
• 公式には、連続部の二次変動およびジャンプ部に対する補正項が含まれており、ジャンプ部の過程の微分を含む項も含まれる。
• 近似列の収束は、L2収束および優越収束を用いて厳密に正当化され、特に小ジャンプの切断におけるε → 0 の極限で成立する。
• 条件 ∫|x|dν(x) < ∞ の下で、公式は有効であり、ジャンプ部の積分はL2で適切に定義される。