[論文レビュー] An approach to Hopf algebras via Frobenius coordinates II

Lars Kadison, Alexander Stolin|ArXiv.org|Mar 5, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可換環上の有限射영ホップ代数におけるアンチポードの4乗に関するラドフォードの公式について、Frobenius座標系、中川自己同型、モジュラー関数を用いて、Frobenius代数に基づく概念的証明を提供する。量子ダブルが常にFrobenius代数であることを確立し、分離可能／コ分離可能なホップ代数およびホップ部分代数のFrobenius拡大に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

We study a Hopf algebra $H$, which is finitely generated and projective over a commutative ring $k$, as a $P$-Frobenius algebra. We define modular functions in this setting, and provide a complete proof of Radford's formula for the fourth power of the antipode, using Frobenius algebraic techniques. As further applications, we extend Etingof and Gelaki's result that a separable and coseparable Hopf algebra has antipode of order two, the result of Schneider that Hopf subalgebras are twisted Frobenius extensions, and show that the quantum double is always a Frobenius algebra.

研究の動機と目的

• 可換環上の有限射影ホップ代数における $ S^4 $ に関するラドフォードの公式の、概念的でFrobenius代数に基づく証明を提供すること。
• 自由積分生成子が存在しない状況下で、中川自己同型およびFrobenius座標系を用いてモジュラー関数を定義・利用すること。
• 分離可能およびコ分離可能なホップ代数、ホップ部分代数のFrobenius拡大、および量子ダブルのFrobenius性に関する既知の結果を拡張すること。
• 任意の有限射影ホップ代数 $ H $ が、具体的には $ D(H) $ および $ H \otimes_k K $（$ K $ はPicard群が自明な環）を介してFH代数に埋め込まれることを示すこと。

提案手法

• Frobenius座標系、双対基底、およびノルム元 $ N $ を用いて $ H $ に $ P $-Frobenius代数構造を構成し、Frobenius代数の理論を一般化すること。
• 標準的な定義が自由積分生成子に依存するのを補うために、中川自己同型と余単位の合成としてモジュラー関数を定義すること。
• アンチポード $ S $ をFrobenius系に作用させることで新たな系を生成し、Radon-Nikodym微分を用いて両者を関連づけ、特徴的な群的元 $ b \in H $ を同定すること。
• P- Frobenius代数の比較定理および変換定理を用いて中川自己同型を関連づけ、ラドフォードの $ S^4 $ の公式を導出すること。
• 量子ダブル $ D(H) $ がFH代数であることを証明するため、$ \int^\ell_{D(H)^*} \cong k $ を示す。これには $ D(H)^* \cong H^{\rm op} \otimes H^* $ および $ P \otimes P^* \cong k $ を用いる。
• 最大イデアルにおける半局所化の逆極限を用いて、Picard群が自明な環 $ K $ を構成し、$ H \otimes_k K $ がFH代数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分空間の自由生成子が存在しない状況下で、Frobenius代数の技法を用いてラドフォードの $ S^4 $ の公式を再証明する方法は何か？
• RQ2 左ノルムが積分空間を自由に生成しない場合、可換環上のホップ代数におけるモジュラー関数の適切な一般化は何か？
• RQ3 可換環上の有限射影ホップ代数 $ H $ の量子ダブル $ D(H) $ は常にFrobenius代数か？
• RQ4 ホップ部分代数の対 $ K \subset H $ が第3種のFrobenius拡大をなす条件は何か？また、$ H^* $ および $ K^* $ のPicard群の元とどのように関連するか？
• RQ5 任意の有限射影ホップ代数 $ H $ はFH代数に埋め込めるか？もしそうなら、どのような構成を用いるか？

主な発見

• 任意の可換環上の有限射影ホップ代数 $ H $ に対して、Frobenius座標系および中川自己同型を用いて、ラドフォードの $ S^4 $ の公式の完全かつ概念的な証明が確立された。
• モジュラー関数は中川自己同型と余単位の合成として定義され、積分空間が自由に生成されない場合でも、標準的定義に代わって効果的に機能する。
• 量子ダブル $ D(H) $ がFH代数（したがってFrobenius代数）であることが証明された。これは $ D(H)^* \cong H^{\rm op} \otimes H^* $ および $ P \otimes P^* \cong k $ を用いて $ \int^\ell_{D(H)^*} \cong k $ を示すことによって達成された。
• ホップ部分代数の対 $ K \subset H $ は、相対的中川自己同型および $ K^* $、$ H^* $ のPicard群の元に依存して、第3種のFrobenius拡大をなす。これは以前のFrobenius拡大理論を一般化する。
• 任意の有限射影ホップ代数 $ H $ は、2つの構成を用いてFH代数に埋め込める：$ D(H) $ および $ H \otimes_k K $（$ K $ は最大イデアルにおける半局所化の逆極限として構成されたPicard群が自明な環）。
• 本稿は、$ H $ が分離可能かつコ分離可能な場合、$ S^2 = \text{id} $ が成り立つことを確認した。これは、$ k $ において $ 2 $ が零因子でないという仮定の下で、EtingofとGelakiの結果を拡張するものである。