[論文レビュー] An approximation of the Gröbner basis of ideals of perturbed points, part I

Claudia Fassino|ArXiv.org|Mar 6, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、座標が有限精度でのみ既知である場合に、摂動された点に消失するイデアルのグレブナー基底を近似する数値的アルゴリズムを提案する。前処理ステップにより入力データを安定化させ、しきい値を用いた数値的 Buchberger-Möller アルゴリズムにより、基準グレブナー基底と構造的に一致し、リーディング項が保存され、誤差境界内に近い多項式を得る近似 $¯{GB}$ を計算する。

ABSTRACT

We develop a method for approximating the Gröbner basis of the ideal of polynomials which vanish at a finite set of points, when the coordinates of the points are known with only limited precision. The method consists of a preprocessing phase of the input points to mitigate the effects of the input data uncertainty, and of a new "numerical" version of the Buchberger-Möller algorithm to compute an approximation $\bar{GB}$ to the exact Gröbner basis. This second part is based on a threshold-dependent procedure for analyzing from a numerical point of view the membership of a perturbed vector to a perturbed subspace. With a suitable choice of the threshold, the set $\bar{GB}$ turns out to be a good approximation to a "possible" exact Gröbner basis or to a basis which is an "attractor" of the exact one. In addition, the polynomials of $\bar{GB}$ are "sufficiently near" to the polynomials of the extended basis, introduced by Stetter, but they present the advantage that $LT(\bar{GB})$ coincides with the leading terms of a "possible" exact case. The set of the preprocessed points, approximation to the unknown exact points, is a pseudozero set for the polynomials of $\bar{GB}$.

研究の動機と目的

• 実世界のデータにおける点座標の微小な摂動に対してグレブナー基底計算の構造的不連続性を解消すること。
• 正確な座標が不明で、誤差の上限しか得られない状況においてグレブナー基底をロバストに近似する手法を開発すること。
• 誤差境界内に含まれるすべての許容可能な入力集合に対して構造が一貫する「基準基底」を定義すること。
• 計算された近似 $\overline{GB}$ が、可能な正確なグレブナー基底のリーディング項と一致することを保証し、構造的整合性を維持すること。
• 丸め誤差や摂動誤差を扱える数値的に安定したアルゴリズムを提供し、ステッターの拡張基底に十分近い多項式を、誤差境界を制御しながら得ること。

提案手法

• 許容誤差 $s_0$ 内の座標をグループ化し、クラスタを中央値に置き換えることで、入力点を前処理し、データの不確実性を低減する。
• 前処理済み点から、すべての前処理済み値が $s_0$ よりも離れるように、仮想ゼロ集合 $\overline{\cal P}$ を構築する。
• 摂動されたベクトルが摂動された部分空間に属するかを、しきい値依存の数値的手法でテストし、正確なグレブナー基底計算を模倣する。
• 線形従属関係をしきい値を用いて評価することで、丸め誤差や摂動誤差を扱える数値的文脈での Buchberger-Möller アルゴリズムを適用する。
• $\overline{GB}$ を、$\overline{\cal N} \cup {\cal C}[\overline{\cal N}]$ のサポートを持つ多項式の集合として定義する。ここで $\overline{\cal N}$ は基準正規集合である。
• 座標の相対誤差 $\delta_R$ を用いて、近似誤差を $\epsilon_t \leq Deg(t)\delta_R$ および $\epsilon_M \leq \sqrt{k}\,d_M\delta_R$ で評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定誤差によって摂動された座標を持つ場合に、点のイデアルのグレブナー基底を安定して近似する方法は何か？
• RQ2 与えられた誤差境界内にすべての許容可能な入力集合に対して構造が一貫する「基準基底」とは、どのような基準で定義されるか？
• RQ3 摂動されたデータを扱える数値的 Buchberger-Möller アルゴリズムを設計でき、可能な正確なグレブナー基底のリーディング項を保持できるか？
• RQ4 元の摂動された点集合 $\widehat{\cal P}$ と比較して、前処理済み点集合 $\overline{\cal P}$ が数値的安定性をどの程度向上させるか？
• RQ5 座標の摂動と多項式の次数に関して、近似誤差の上界をどのように導出できるか？

主な発見

• 前処理済み点集合 $\overline{\cal P}$ により、すべての値が $s_0$ よりも離れていることが保証され、安定な数値計算が可能になる。
• 計算された近似 $\overline{GB}$ は、可能な正確なグレブナー基底のリーディング項と一致しており、構造的整合性が保たれている。
• $\overline{GB}$ に含まれる多項式は、ステッターの拡張基底に十分に近く、$LT(\overline{GB})$ が基準ケースのリーディング項と一致する。
• 摂動された点における項 $t$ の評価における相対誤差の上界は $\epsilon_t \leq Deg(t)\delta_R$ であり、$\delta_R$ は座標の最大相対誤差である。
• モーメント行列のフロベニウスノルム誤差は $\epsilon_M \leq \sqrt{k}\,d_M\delta_R$ を満たし、$k$ は項の数、$d_M$ は最大次数である。
• 本手法により、正確な点が不明でデータに不確実性がある状況においても、$\overline{GB}$ が基準基底の良い近似であることが保証される。