[論文レビュー] An Arrow-Debreu Extension of the Hylland-Zeckhauser Scheme: Equilibrium Existence and Algorithms.

Jugal Garg, Thorben Tröbst+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、片側マッチング市場におけるHylland-Zeckhauser（HZ）方式の拡張として、元のモデルにおける均衡の非存在性を解消するための$ε$-近似ADHZモデルを導入する。線形効用関数下での$ε$-近似均衡の存在を証明し、二値効用関数における組合せ的多項式時間アルゴリズムを提供するとともに、均衡が存在しない条件を同定し、片側マッチング市場のメカニズム設計における重要な空白を埋める。

ABSTRACT

The Arrow-Debreu extension of the classic Hylland-Zeckhauser scheme for a one-sided matching market -- called ADHZ in this paper -- has natural applications but has instances which do not admit equilibria. By introducing approximation, we define the $\\epsilon$-approximate ADHZ model. We give the following results. * Existence of equilibrium for the $\\epsilon$-approximate ADHZ model under linear utility functions. The equilibrium satisfies Pareto optimality, approximate envy-freeness and incentive compatibility in the large. * A combinatorial polynomial time algorithm for an $\\epsilon$-approximate ADHZ equilibrium for the case of dichotomous, and more generally bi-valued, utilities. * An instance of ADHZ, with dichotomous utilities and a strongly connected demand graph, which does not admit an equilibrium. * A rational convex program for HZ under dichotomous utilities; a combinatorial polynomial time algorithm for this case was given by Vazirani and Yannakakis (2020). The $\\epsilon$-approximate ADHZ model fills a void, described in the paper, in the space of general mechanisms for one-sided matching markets.

研究の動機と目的

• 片側マッチング市場におけるHylland-Zeckhauser（ADHZ）方式のアロウ＝ドブリュー拡張における均衡の非存在性を解消すること。
• 線形効用関数下での$ε$-近似均衡の存在を確立し、パレート最適性および近似 envy-freeness を満たすこと。
• 二値効用関数の場合に$ε$-近似均衡を計算する組合せ的多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• すなわち、二値効用関数設定かつ強い連結性を持つ需要グラフを有する状況においても、均衡が存在しない条件を同定すること。
• 片側マッチング市場の一般メカニズム設計における空白を埋めるために、強固で近似された均衡フレームワークを導入すること。

提案手法

• 厳密な均衡条件を緩和することで、小さなずれを許容する$ε$-近似ADHZモデルを導入する。
• 線形効用関数下での$ε$-近似均衡の存在を証明するために、凸計画法の技術を用い、有理凸計画問題の性質を活用する。
• 二値効用関数のインスタンスに対して、フロー分解と反復的改善に基づく組合せ的アルゴリズムを設計する。
• 参加者の好みから需要グラフを構築し、その連結性を分析することで、均衡非存在ケースを同定する。
• 二値効用関数下でのHZメカニズムに対して、有理凸計画問題の理論を適用し、多項式時間での計算を可能にする。
• グラフ論的解析を用いて、二値効用関数かつ強い連結性を持つ需要グラフを有する反例を構成し、均衡が存在しないことを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形効用関数下でのADHZモデルにおいて、$ε$-近似均衡が存在するか？
• RQ2 二値効用関数の場合に、$ε$-近似均衡を計算する組合せ的多項式時間アルゴリズムを設計可能か？
• RQ3 二値効用関数および強い連結性を持つ需要グラフを有するADHZモデルのインスタンスで、均衡が存在しないものは存在するか？
• RQ4 $ε$-近似ADHZモデルは、元のADHZ方式と比べて、公平性および効率性の性質においてどのように異なるか？
• RQ5 二値効用関数下でのHZメカニズムは、有理凸計画問題として定式化可能であり、効率的な計算が可能か？

主な発見

• 線形効用関数下での$ε$-近似ADHZ均衡は存在し、パレート最適性および近似 envy-freeness を満たす。
• 二値効用関数および二値効用関数設定下での$ε$-近似均衡を計算する組合せ的多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 二値効用関数および強い連結性を持つ需要グラフを有するADHZの明示的インスタンスが構築され、その中には均衡が存在しないものも含まれる。
• 二値効用関数下でのHZメカニズムは、有理凸計画問題としての定式化を有し、効率的な計算が可能である。
• $ε$-近似ADHZモデルは、片側マッチング市場のメカニズム設計における重要な空白を埋める強固なフレームワークを提供する。
• このモデルは、インcentive compatibility（インcentive compatibility）を大規模に保証し、メカニズムの戦略的堅牢性を支援する。