[論文レビュー] An artificial viscosity approach to quasistatic crack growth

Rodica Toader, Chiara Zanini|ArXiv.org|Jul 24, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 45

ひとこと要約

本稿では、破壊能動的材料における不可逆的準静的き裂成長をモデル化するための新しい人工粘性正則化手法を提案する。き裂の進展は、エネルギー汎関数の${\varepsilon}$-勾配流の極限として導出される。この手法により、粘性正則化近似を用いて解を選択することで局所的安定性を確保し、物理的に不自然なジャンプを回避する。また、$\varepsilon \to 0$の極限において、弱いグリフィス基準を満たす解に収束することを証明する。

ABSTRACT

We introduce a new model of irreversible quasistatic crack growth in which the evolution of cracks is the limit of a suitably modified $ε$-gradient flow of the energy functional, as the "viscosity" parameter $ε$ tends to zero.

研究の動機と目的

• 既存の変分モデルにおけるグローバル最小化に起因する物理的に不自然なジャンプを回避する、不可逆的準静的き裂成長のための選択基準を開発すること。
• グローバル安定性を、粘性正則化に基づくエネルギー最小化による局所的安定性基準に置き換えること。
• 局所的安定性、不可逆性、エネルギー不等式を満たす準静的進化の存在を確立すること。
• 粘性正則化された解の極限が、$\varepsilon \to 0$の極限において、弱い形のグリフィス基準を満たすことを証明すること。
• 応力集中係数から導かれる局所的エネルギー安定性条件に基づく、き裂拡大の厳密な解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• エネルギー汎関数の粘性正則化を導入し、きぜん的き裂成長をペナルティとする${\varepsilon}$-勾配流を定義する。
• 小さな粘性パラメータ$\varepsilon$を伴う粘性進化方程式を満たす正則化解の族$(u_\varepsilon(t), \sigma_\varepsilon(t))$を構築する。
• 切り捨て関数$\varphi$とキャッチョポリ型推定を用いて、き裂先端付近における正則化された変位$u^\varepsilon(\sigma)$の勾配を制御する。
• $H^1$における$u^\varepsilon(\sigma)$の弱収束を証明し、弱形式と境界条件を用いて、その極限$u^*(\sigma)$が参照変位$v(\sigma)$と一致することを示す。
• 正則化エネルギーおよび勾配ノルムの収束を確立し、極限が必要なエネルギー不等式および安定性条件を満たすことを保証する。
• 応力集中係数に関連する微分$\partial_\sigma E(t, \sigma)$を用いて、グローバル最小化を回避する局所的安定性条件を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 応力集中係数に基づく局所的安定性基準を用いることで、グローバル最小化に起因する物理的に不自然なジャンプを回避する、物理的に意味のある解を選択できるか。
• RQ2 グローバル安定性が欠如する状況下でも、粘性正則化された解の極限がエネルギー不等式および不可逆性条件を満たすか。
• RQ3 極限解は、特にき裂先端における応力集中係数に関して、弱い形のグリフィス基準と整合的か。
• RQ4 人工粘性法により、局所的安定性およびエネルギー保存を満たす解への正則化解の収束を保証できるか。
• RQ5 粘性正則化は、グローバルに安定なモデルが生じ得る非物理的き裂拡大をどのように防止するか。

主な発見

• $\varepsilon \to 0$の極限において、粘性正則化された解の極限は、局所的片側安定性条件を満たす：任意の$v \in AD(\psi(t), \sigma(t))$に対して$\mathcal{E}(t)(u(t), \sigma(t)) \leq \mathcal{E}(t)(v, \sigma(t))$が成り立つ。
• 応力集中係数に関連する微分$\partial_\sigma E(t, \sigma(t))$は、ほとんど至る時間$t$において$\partial_\sigma E(t, \sigma(t)) \geq 0$を満たし、弱い形のグリフィン基準を示している。
• 正則化解は$H^1$において弱収束し、極限$u^*(\sigma)$は領域$B_{-2} \setminus \Gamma(\sigma)$において参照変位$v(\sigma)$に等しいことが示された。
• $u^\varepsilon(\sigma)$の勾配の$L^2$ノルムは、$v(\sigma)$のそれへ収束し、極限におけるエネルギーの一貫性が保証される。
• エネルギー不等式が成立する：すべての$s < t$に対して$\mathcal{E}(t)(u(t), \sigma(t)) \leq \mathcal{E}(s)(u(s), \sigma(s)) + \text{Work}(u; s, t)$が成り立つ。
• 領域$\tilde{R}_\varepsilon$におけるキャッチョポリ型推定により、$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\tilde{R}_\varepsilon} |Dw_\varepsilon|^2 \, dx = 0$が示され、これはき裂先端付近の勾配を制御するために不可欠である。