[논문 리뷰] An asymptotic thin shell condition and large deviations for multidimensional projections

Steven Soojin Kim, Kavita Ramanan|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 31.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 45인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 고차원 랜덤 벡터의 무작위 $k_n$차원 부분공간으로의 무작위 사영에 대해, 스티펠 맨ifold 위의 하르 측도에서 추출된 $k_n$-차원 정규직교 기저를 사용하여, 세 가지 渐近적 영역: 상수 $k_n = k$, 비선형적 증가 $k_n \to \infty$ 이면서 $k_n/n \to 0$, 선형적 증가 $k_n/n \to \lambda \in (0,1]$ 에서, 고온화된 대칭적 대수법칙 원리(LDP)를 수립한다. 이는 사영된 좌표의 경험적 측도와 스케일링된 $\ell_q$ 노름에 대한 LDP를 도출하며, 이는 이전 결과를 단변량 설정과 $\ell_p^n$ 구의 경우를 초월하여 확장한다.

ABSTRACT

Consider the projection of an $n$-dimensional random vector onto a random $k_n$-dimensional basis, $k_n \leq n$, drawn uniformly from the Haar measure on the Stiefel manifold of orthonormal $k_n$-frames in $\mathbb{R}^n$, in three different regimes as $n ightarrow \infty$: ($k_n=k$), ($k_n ightarrow \infty$ but $k_n/n ightarrow 0$) and $k_n/n ightarrow \lambda$ with $0 < \lambda \le 1$). When the sequence of random vectors satisfies a certain asymptotic condition, we establish annealed large deviation principles (LDPs) for the corresponding sequence of random projections in the constant regime, and for the sequence of empirical measures of the coordinates of the random projections in the sublinear and linear regimes. We also establish LDPs for certain scaled $\ell_q$ norms of the random projections in these different regimes. Moreover, we verify our assumptions for various sequences of random vectors of interest, including those distributed according to Gibbs measures with superquadratic interaction potential, or the uniform measure on suitably scaled $\ell_p^n$ balls, for $p \in [1,\infty)$, and generalized Orlicz balls defined via a superquadratic function. Our results complement the central limit theorem for convex sets and related results which are known to hold under a thin shell condition. These results also substantially extend existing large deviation results for random projections, which are first, restricted to the setting of measures on $\ell_p^n$ balls, and secondly, limited to univariate LDPs (i.e., in $\mathbb{R}$) involving either the norm of a $k_n$-dimensional projection or the projection of $X^{(n)}$ onto a random one-dimensional subspace. Random projections of high-dimensional random vectors are of interest in a range of fields including convex geometry and high-dimensional statistics.

연구 동기 및 목표

• 고차원 랜덤 벡터의 다양한 渐近적 영역에서 다변량 사영에 대해 대칭적 대수법칙 이론을 확장한다.
• 기존 LDP가 단일 변수 사영이나 $\ell_p^n$ 구와 같은 특정 측도에 국한되어 있는 한계를 해결한다.
• 일반 조건 하에서 사영된 좌표의 경험적 측도와 $\ell_q$ 노름에 대해 고온화된 LDP를 수립한다.
• 깁스 측도에 초과제곱형 포텐셜이 존재하는 주요 모델들에 대해 가정 조건을 검증한다.
• 박막 껍질 조건 하에서 중심극한정리의 보완으로, 동일한 프레임워크 내에서 대칭적 대수법칙 결과를 제공한다.

제안 방법

• 스티펠 맨ifold 위의 하르 측도를 사용하여 $\mathbb{R}^n$ 내에서 정규직교 $k_n$-기저를 균일하게 무작위 선택함으로써 부분공간 선택의 균일성을 확보한다.
• 세 가지 渐近적 영역을 분석한다: $k_n = k$ 가 고정되어 있고, $k_n \to \infty$ 이면서 $k_n/n \to 0$, 그리고 $k_n/n \to \lambda \in (0,1]$.
• 고온화된 대칭적 대수법칙 이론을 적용하여 사영된 벡터의 좌표 경험적 측도에 대한 LDP를 유도한다.
• 사영된 노름의 스케일링된 $\ell_q$ 노름에 대한 LDP를 도출하며, 각 영역에서 속도 함수를 설정한다.
• 초과제곱형 상호작용 포텐셜을 가진 깁스 측도에 따라 분포하는 랜덤 벡터 시퀀스에 대해 점점 좁아지는 껍질 조건을 검증한다.
• 초과제곱형 함수를 통해 정의된 일반화된 오르리치 구에 대해 이 프레임워크를 검증하여, 기존의 $\ell_p^n$ 노름을 초월한 적용 가능성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변량 랜덤 사영의 경험적 측도가 고차원에서 어떤 조건 하에 대칭적 대수법칙 원리를 만족하는가?
• RQ2 고정, 비선형, 선형 $k_n$ 스케일링의 세 가지 渐近적 영역 간에 대칭적 대수법칙 행동은 어떻게 다를까?
• RQ3 고온화된 LDP 프레임워크는 단일 변수 사영을 초월하여 벡터 값 또는 경험적 측도 기반 관측치로 확장될 수 있는가?
• RQ4 초과제곱형 상호작용 포텐셜을 가진 깁스 측도는 요구되는 점점 좁아지는 껍질 조건을 얼마나 잘 만족하는가?
• RQ5 초과제곱형 함수를 통해 정의된 일반화된 오르리치 구는 그 랜덤 사영에 대해 대칭적 대수법칙 원리를 만족하는가?

주요 결과

• 모든 세 가지 渐近적 영역(고정, 비선형, 선형 $k_n$ 스케일링)에서 사영된 좌표의 경험적 측도에 대해 고온화된 대칭적 대수법칙 원리가 수립되었다.
• 사영된 노름의 스케일링된 $\ell_q$ 노름에 대해 LDP가 도출되었으며, 이는 고차원 사영에서 꼬리 행동을 정량적으로 묘사한다.
• 초과제곱형 상호작용 포텐셜을 가진 깁스 측도에 따라 분포하는 랜덤 벡터에 대해 점점 좁아지는 껍질 조건이 검증되었으며, 이는 LDP 프레임워크의 적용 가능성을 보장한다.
• 적절히 스케일링된 $\ell_p^n$ 구 위의 균일 측도에 대해 이 프레임워크가 적용되며, 이는 이전 결과를 다변량 관측치로 확장한다.
• 초과제곱형 함수를 통해 정의된 일반화된 오르리치 구는 요구 조건을 만족하며, 기존의 $\ell_p$ 설정을 초월한 광범위한 적용 가능성을 보여준다.
• 기존의 대칭적 대수법칙 이론을 단일 변수 사영과 $\ell_p^n$ 기반 측도를 초월하여 크게 확장하며, 다변량 사영을 위한 통합된 프레임워크를 제공한다.