[論文レビュー] An Atiyah-Singer theorem for gerbes

Aristide Tsemo|ArXiv.org|Feb 5, 2003

Mathematical and Theoretical Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ベクトル的gerbeを介してねじれK理論の設定に古典的インデックス定理を一般化することで、gerbeに対するアティヤ＝シンガー型インデックス定理を確立する。リーマン多様体に付随するクリフォードgerbe上にディラック作用素を構成し、スカラー曲率が正に限りなく大きい場合、ディラック作用素のインデックスが消えることを証明する。これは、スピンgerbeを介して非スピン多様体へのリヒネロヴィッチの定理の拡張である。

ABSTRACT

Let M be a riemannian manifold. The existence of a spin structure on M, enables to study the topology of M. The obstruction to the existence of the spin structure is given by the second Stiefel-Whitney class. This class is the classifying cocycle of a gerbe. One may expect that the study of this gerbe may have topological applications, for example, one may try to generalize the spinors Lichnerowicz theorem in this setting. On this purpose, we must first prove an Atiyah-Singer theorem for gerbes which is the main goal of this paper.

研究の動機と目的

• スピン多様体でない非スピン多様体において、従来のスピンバンドルが存在しない状況に、アティヤ＝シンガーインデックス定理をgerbeの設定に一般化すること。
• ベクトル的gerbeおよびそれらへのリーマン計量の理論を構築し、ディラック型作用素の構成を可能にする。
• K理論とコhomologyの同型をねじれ設定に拡張するため、gerbeのチャーン類およびインデックス写像を定義すること。
• スカラー曲率が正のとき、クリフォールドgerbe上のディラック作用素のインデックスが消える、リヒネロヴィッチ型の定理を証明すること。
• 開被覆上でのgerbe作用素に関連するK理論類のメイヤー＝ビエトリス型構成を確立し、グローバルインデックス計算を可能にすること。

提案手法

• 構造群がGL(V)の部分群Hに値をとる2次コサイクルをなす遷移データを備えた、GL(V)に値をとるベクトルバンドルのカテゴリの層としてのベクトル的gerbeの概念を導入する。
• O(n)フレームをSpin(n)に上げることにより、リーマン多様体Mに付随するクリフォードgerbe Cl(M)を定義し、Cl(R^n)に作用するSpin(n)に値をとる遷移関数を用いる。
• リーマン計量をクリフォードgerbeに導入し、リーマン接続とスピン接続φ_ij = -1/4 w_ijを用いてスピン性の共変微分を構成する。
• 正規直交フレームとスピン接続を用い、各局所的自明化U上でD_{e_U} = ∑ e_i ∇_spin_{e_i}としてディラック作用素を定義する。
• ディラック作用素の二乗を接続ラプラシアンとスカラー曲率に関連づける、リヒネロヴィッチ＝ヴァイツェンボックの公式D² = ∇*∇ + 1/4 sを適用する。
• K理論におけるメイヤー＝ビエトリス列を用いて、開集合上でのディラック作用素の記号の局所的K₁類を貼り合わせ、グローバルインデックス計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アティヤ＝シンガーインデックス定理は、特にスピン多様体でない非スピン多様体におけるスピンgerbeに対してもgerbeの設定に拡張可能だろうか？
• RQ2 グローバルなスピンバンドルが存在しないクリフォードgerbe上に、ディラック作用素とそのインデックスをどのように定義できるか？
• RQ3 クリフォールドgerbe上のディラック作用素のインデックスが消える幾何的条件は何か？
• RQ4 gerbe上のディラック作用素の記号のK理論類は、メイヤー＝ビエトリスの貼り合わせによってグローバルに定義可能だろうか？
• RQ5 スピンgerbeの分類コサイクルとしての第二スティーフェル＝ホイットニー類が、インデックス理論において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、任意のリーマン多様体Mに対して、Mがスピンでなくても、クリフォードgerbe Cl(M)上に適切に定義されたディラック作用素を構成する。
• ディラック作用素がクリフォールドgerbe上で成り立つリヒネロヴィッチ＝ヴァイツェンボックの公式は、D² = ∇*∇ + 1/4 sであり、sはスカラー曲率を表す。
• スカラー曲率sが正に限りなく大きく、Mがコンパクトである場合、すべての調和なグローバルスピン形式が消えるため、インデックスが消える。
• スカラー曲率が正に限りなく大きいコンパクト多様体に対して、クリフォールドgerbe上のディラック作用素のインデックスは消える。
• 余接 bundle へのK理論からℝへのインデックス写像は、クラスt(M)に沿った積分によって与えられ、Ind(P) = ∫_{T*M} ch([σ_P']) ∧ t(M) と表される。
• チャーン類は、K₀(T*M) ⊗ ℝ → H_c^{even}(M, ℝ) を誘導する同型写像をなす。これにより、インデックスは余接 bundle 上の特徴類を用いて計算可能となる。