[論文レビュー] An Effective Decision Procedure for Linear Arithmetic with Integer and Real Variables

Bernard Boigelot, Sébastien Jodogne+1 more|ArXiv.org|Mar 20, 2003

semigroups and automata theory参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、無限語上の弱オートマトンを用いて、実数および整数変数を含む線形算術の決定手続きを提示する。この手法により、決定手続きに必要なオートマトンのクラスは、特定の制限付きのクラスに限定され、具体的には決定的弱オートマトンのみが十分であることが証明される。トポロジカルな議論を活用することで、補集合と決定化の手続きが簡素化され、LASHなどのツールにおける効率的な実装が可能になる。これにより、離散的および連続的変数を併用するシステムの検証が可能になる。

ABSTRACT

This paper considers finite-automata based algorithms for handling linear arithmetic with both real and integer variables. Previous work has shown that this theory can be dealt with by using finite automata on infinite words, but this involves some difficult and delicate to implement algorithms. The contribution of this paper is to show, using topological arguments, that only a restricted class of automata on infinite words are necessary for handling real and integer linear arithmetic. This allows the use of substantially simpler algorithms, which have been successfully implemented.

研究の動機と目的

• 実数および整数変数を含む線形算術論理式を、有限オートマトンを用いて決定する課題に取り組む。
• 無限語上の一般 Büchi オートマトンの補集合と決定化の複雑さと実装の難易度を克服する。
• 混合実数・整数線形算術を扱うために、弱オートマトンのみが必要であることを示し、下位のアルゴリズムを簡素化する。
• 無限大の整数および実数変数を含むシステム、たとえば時刻付きシステムなどに対する、実用的な決定手続きの実装を可能にする。
• 決定的弱オートマトンを用いた最小化および効率的なブール演算により、正規形を提供する。

提案手法

• 実数および整数ベクトルの集合を、ブール演算について閉じた無限語上の弱オートマトンで表現する。
• 混合実数-整数線形算術における決定手続きに、決定的弱オートマトンのみが要求されることをトポロジカルな証明により示す。
• 決定化のためのブレークポイント構成を弱オートマトンに適応し、一般 Büchi オートマトンの決定化よりも単純かつ効率的である。
• 弱オートマトンに対する最小化を適用し、表現サイズを削減する正規形を達成する。
• オートマトンの構造的テストを用いて射影および補集合演算を統合し、不要なサイズの増大を回避する。
• LASHツールセットへの実装により、離散的および連続的特徴を併せ持つ非凸的かつ周期的集合への実用的適用が示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限語上の有限オートマトンは、実数および整数変数を含む線形算術を効果的に決定するために使用可能か？
• RQ2 このような決定手続きに必要なオートマトンのクラスを制限することで、実装の簡素化と効率の向上が可能か？
• RQ3 弱オートマトンの使用により、一般 Büchi オートマトンと比較して、性能の向上とより小さな表現が達成可能か？
• RQ4 決定化のためのブレークポイント構成は、弱オートマトンに対しても効果的に適用可能か？実際には指数的爆発を回避するか？
• RQ5 このオートマトンベースのアプローチを用いて、ブール演算、量化子除去、集合比較をどれほど効率的に実装できるか？

主な発見

• 実数および整数変数を含む線形算術を決定するには、決定的弱オートマトンのみが必須であり、理論的およびアルゴリズム的枠組みが著しく簡素化される。
• 弱オートマトンの決定化のためのブレークポイント構成は、一般 Büchi オートマトンの既存手法よりも単純かつ効率的であり、複雑度を $2^{O(n ext{log}n)}$ から $2^{O(n)}$ に低減する。
• 弱オートマトンの最小化が可能であり、表現サイズの削減と効率の向上をもたらす正規形を提供する。
• 実験結果から、射影および決定化が実際には指数的爆発を引き起こさず、演算後にオートマトンサイズがしばしば減少することが示された。
• LASHツールセットへの実装により、実数および整数変数を併せ持つ非凸的かつ周期的集合を効果的に処理でき、他のツールでは実現できない能力を有することが示された。
• NDD（Number Decision Diagrams）との比較において、弱RVA表現は実際には同様のスケーラビリティと実用性を示しており、良好なスケーラビリティと実用性が裏付けられた。