[論文レビュー] An Efficient Algorithm for All-Pairs Bounded Edge Connectivity

Shyan Akmal, Ce Jin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、k ≥ 3 に対して従来の全対接続問題を解くのと同等以上の速度でない既存手法とは著しく高速である Õ((kn)^ω) 時間で動作する、有向グラフにおける k-有界全対辺接続性（k-APC）の最初のアルゴリズムを提示する。主な洞察は、代数的枠組みにおいて、行列のフルインバージョンを低ランク行列のインバージョンに置き換えることで、接続性が k より小さいすべての頂点対について、有効に有界辺接続性を計算可能にすることにある。

ABSTRACT

Our work concerns algorithms for a variant of Maximum Flow in unweighted graphs. In the All-Pairs Connectivity (APC) problem, we are given a graph G on n vertices and m edges, and are tasked with computing the maximum number of edge-disjoint paths from s to t (equivalently, the size of a minimum (s,t)-cut) in G, for all pairs of vertices (s,t). Over undirected graphs, it is known that APC can be solved in essentially optimal n^{2+o(1)} time. In contrast, the true time complexity of APC over directed graphs remains open: this problem can be solved in Õ(m^ω) time, where ω ∈ [2, 2.373) is the exponent of matrix multiplication, but no matching conditional lower bound is known. Following [Abboud et al., ICALP 2019], we study a bounded version of APC called the k-Bounded All Pairs Connectivity (k-APC) problem. In this variant of APC, we are given an integer k in addition to the graph G, and are now tasked with reporting the size of a minimum (s,t)-cut only for pairs (s,t) of vertices with min-cut value less than k (if the minimum (s,t)-cut has size at least k, we can just report it is "large" instead of computing the exact value). Our main result is an Õ((kn)^ω) time algorithm solving k-APC in directed graphs. This is the first algorithm which solves k-APC faster than simply solving the more general APC problem exactly, for all k ≥ 3. This runtime is Õ(n^ω) for all k ≤ poly(log n), which essentially matches the optimal runtime for the k = 1 case of k-APC, under popular conjectures from fine-grained complexity. Previously, this runtime was only achieved for general directed graphs when k ≤ 2 [Georgiadis et al., ICALP 2017]. Our result employs the same algebraic framework used in previous work, introduced by [Cheung, Lau, and Leung, FOCS 2011]. A direct implementation of this framework involves inverting a large random matrix. Our new algorithm is based off the insight that for solving k-APC, it suffices to invert a low-rank random matrix instead of a generic random matrix. We also obtain a new algorithm for a variant of k-APC, the k-Bounded All-Pairs Vertex Connectivity (k-APVC) problem, where for every pair of vertices (s,t), we are now tasked with reporting the maximum number of internally vertex-disjoint (rather than edge-disjoint) paths from s to t if this number is less than k, and otherwise reporting that this number is at least k. Our second result is an Õ(k²n^ω) time algorithm solving k-APVC in directed graphs. Previous work showed how to solve an easier version of the k-APVC problem (where answers only need to be returned for pairs of vertices (s,t) which are not edges in the graph) in Õ((kn)^ω) time [Abboud et al, ICALP 2019]. In comparison, our algorithm solves the full k-APVC problem, and is faster if ω > 2.

研究の動機と目的

• k ≥ 3 の場合に、従来の全対接続問題と同等以上の速度でない既存手法よりも高速に、有向グラフにおける有界辺接続性を計算するアルゴリズムを開発すること。
• k = 1, 2 の場合に既知の最適実行時間と、k ≥ 3 の場合の最新技術との間のギャップを埋めること。
• Cheung, Lau, および Leung (FOCS 2011) が提唱した代数的枠組みを拡張し、k-APC に対して低ランク行列インバージョンが十分であることを示すこと。
• 従来の研究より高速な Õ(k²n^ω) 時間で動作する、k-有界全対頂点接続性（k-APVC）の新しいアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• Cheung, Lau, および Leung (FOCS 2011) が最初に導入した、接続性情報を行列のインバージョンに基づいて符号化する代数的枠組みを用いる。
• m × m のランダム行列のインバージョンを、(k+1) × (k+1) の低ランク行列のインバージョンに置き換えることで、計算コストを著しく削減する。
• フローベクトル枠組みを用いて、行列のランクを通じて接続値を計算し、各頂点対 (s,t) について、F_{s,t} のランクが min(k, λ(s,t)) を決定する。
• F_{s,t} のエントリを、5つの n × n 行列の積として構築する D_{ij} 行列を用いて、高速行列乗算を活用して効率的に計算する。
• すべての頂点対にわたる和集合の不等式を適用し、ランクに基づく接続性推定の高確率での正しさを保証する。
• 頂点接続性への拡張のために、頂点素性パスに対応する類似の行列 B および C を定義し、k-APVC アルゴリズムを Õ(k²n^ω) 時間で得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 3 の有向グラフにおいて、k-APC を一般の全対接続問題よりも高速に解くことは可能か？
• RQ2 k-APC に対して Õ(k²n^ω) 時間で実行可能であり、新規に得られた k-APVC アルゴリズムと一致するか？
• RQ3 APC の既知の Õ(m^ω) 時間実行時間は、k ≤ poly(log n) の場合に、特に Õ((kn)^ω) に改善可能か？
• RQ4 k-APC や k-APVC に対してより高速なアルゴリズムが不可能であることを示す条件付き下界は存在するか？あるいは、中程度の k に対して Õ(n^ω) 時間で解ける可能性はあるか？
• RQ5 k-APC や k-APVC に対して、既知の APVC の検証者と同程度の実行時間で動作する非決定的検証者を構築可能か？

主な発見

• 本稿では、k ≥ 3 に対して、有向グラフにおける k-APC の Õ((kn)^ω) 時間で動作する最初のアルゴリズムを提示する。
• k ≤ poly(log n) のすべての k に対して、微細複雑度の予想に基づいて、最適実行時間 Õ(n^ω) を達成する。
• 主な技術的貢献は、k-APC に対しては低ランク行列インバージョンのみが必要であることを示したことであり、m × m 行列インバージョンから (k+1) × (k+1) 行列インバージョンへのボトルネックの削減を実現する。
• k-APVC に関しては、ω > 2 の場合に従来の研究より高速な Õ(k²n^ω) 時間で動作するアルゴリズムを提示し、全問題（非エッジ対に限らない）を解く。
• 両方のアルゴリズムの正しさは、すべての頂点対にわたる和集合の不等式を用いて、少なくとも 1 − 5/n の高確率で証明される。
• これらの結果は、広く受け入れられている微細複雑度の予想のもとで、最適またはほぼ最適な実行時間境界を確立する。