[論文レビュー] An Efficient Multigrid Method for Ground State Solution of Bose-Einstein Condensates

Hehu Xie, Fei Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限要素法を用いてグロス＝ピタエフケィス方程式を解くことでボーズ＝アインシュタイン凝縮の基底状態を計算するための効率的な多重グリッド法を提案する。非線形性に依存しない漸近的最適な計算作業を達成する、新しい非線形反復の実装を用いる。この手法は最適収束性とほぼ線形の計算複雑性を維持し、多重グリッド法を用いた線形問題の解法と同等の効率性を示す。

ABSTRACT

An efficient multigrid method is proposed to compute the ground state solution of Bose-Einstein condensations by the finite element method based on the combination of the multigrid method for nonlinear eigenvalue problem and an efficient implementation for the nonlinear iteration. The proposed numerical method not only has the optimal convergence rate, but also has the asymptotically optimal computational work which is independent from the nonlinearity of the problem. The independence from the nonlinearity means that the asymptotic estimate of the computational work can reach almost the same as that of solving the corresponding linear boundary value problem by the multigrid method. Some numerical experiments are provided to validate the efficiency of the proposed method.

研究の動機と目的

• ボーズ＝アインシュタイン凝縮におけるグロス＝ピタエフケィス方程式（GPE）の基底状態解を計算するためのより効率的な数値的手法を開発すること。
• 既存のGPE固有値問題に対する多重グリッド手法における非線形性依存の計算コストを克服すること。
• 非線形パラメータ ζ にほぼ依存しない漸近的最適な計算複雑性を達成すること。
• スケーラビリティとパフォーマンスを向上させるために、効率的な非線形反復技術を多重グリッドフレームワークに統合すること。

提案手法

• 非次元化されたGPE固有値問題に対して、双線形形式 a(⋅,⋅) および b(⋅,⋅) を含む弱形式を用いた有限要素離散化が採用される。
• 一回の補正ステップを用いた多重グリッドアルゴリズムが適用され、補正はネストされた有限要素空間の階層で計算される。
• 各レベルにおける非線形系の解法を分離・加速するために、テンソルベースの演算を用いた非線形反復の効率的実装が導入される。
• 先行研究からの多層補正スキームを活用するが、繰り返し高価な非線形解法を回避する専用の非線形ソルバを組み込むことで改善される。
• 特異性を有する非凸領域に対応するため、残差に基づく後験的誤差推定器を用いた適応的メッシュ・リファインメントが組み込まれる。
• 計算作業が解析され、線形問題を多重グリッド法で解く場合に近いほぼ最適なスケーリングが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性の強さ ζ に依存しない計算コストで、非線形GPE固有値問題を解くことは可能か？
• RQ2 GPEに対する多重グリッド法における非線形反復を、高い計算オーバーヘッドを避けるために効率的に実装する方法は何か？
• RQ3 提案手法は、均一メッシュおよび適応メッシュの両設定において、最適収束率を維持しながら、漸近的最適な計算作業を達成するか？
• RQ4 この手法は、ナビエ＝ストークス方程式やフェーズフィールドモデルのような多項式非線形性を有する他の問題へ拡張可能か？

主な発見

• 提案された多重グリッド法は、非線形パラメータ ζ にほぼ依存しない漸近的最適な計算作業を達成し、対応する線形問題を解く複雑性に近づく。
• 1次元、2次元、3次元における数値実験では、新しい手法のCPU時間はメッシュサイズに対してほぼ線形に増加するが、ζが大きい場合でも元の手法[26]と比較して強いζ依存性を示さない。
• 再entrant角を持つL字型領域では、適応的リファインメントを用いた手法が最適収束率と精度を維持し、特異性に対して強いことが確認された。
• 誤差推定と収束順序は理論的予測と一致し、後験的誤差推定器は適応的リファインメントを効果的に誘導する。
• 新しい手法の計算作業は、[26]における元の多重グリッド手法よりも顕著に低く、特に高非線形性においては効率性の向上が確認された。
• この手法は、ナビエ＝ストークス方程式やフェーズモデルのような他の非線形問題へ拡張可能であり、一般の非線形固有値問題の前処理として利用可能である。