[論文レビュー] An Eigenvalue problem for the Infinity-Laplacian

Tilak Bhattacharya, Leonardo Marazzi|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、粘性解と比較原理を用いて、有界領域における無限大ラプラシアンに対する主固有値とそれに対応する正の固有関数の存在を確立する。球上で、最初の固有関数は回転対称であり、スケーリングを除いて一意的で、符号が定まっている。重み関数が定数である場合、回転対称解に対して無限個の固有値が存在することが示される。

ABSTRACT

We study an eigenvalue problem for the infinity-Laplacian on bounded domains. We prove the existence of the principal eigenvalue and a corresponding positive eigenfunction. The work also contains existence results when the parameter, in the equation, is less than the first eigenvalue. A comparison principle applicable to these problems is also proven. Some additional results are shown, in particular, that on star- shaped domains and on C^2 domains higher eigenfunctions change sign. When the domain is a ball, we prove that the first eigenfunction has one sign, radial principal eigenfunction exist and are unique up to scalar multiplication, and that there are infinitely many eigenvalues.

研究の動機と目的

• 有界領域における無限大ラプラシアンに対する最初の（主）固有値とそれに対応する正の固有関数の存在を確立すること。
• 固有値問題の粘性解に適用可能な比較原理を証明すること。
• 星型領域およびC²領域における固有関数の符号性を調査し、高次の固有関数が符号を変えることを示すこと。
• 球上で回転対称な固有関数を解析し、スケーリングを除いて一意的であることと、重み関数が定数のとき無限個の固有値が存在することを証明すること。
• 固有関数の単調性と等高線の性質を用いて、最初の固有値を特徴付けること。

提案手法

• 非線形で退化する楕円型の無限大ラプラシアン作用素に対して、粘性解理論を用いる。
• 部分解と上位解の制御に、粘性解における比較原理を適用する。
• 回転された解のインフィミウム畳み込みを用いて、径方向の上位解を構成するペロンの方法を用いる。
• 関数 $ \psi(|x|, L) $ の形をした明示的なバリア関数を構築し、固有関数を評価し、符号性を導出する。
• PDEを常微分方程式（ODE）に還元することで、球上での径方向固有値問題を解析し、べき関数を用いて解く。
• 包含関係にある領域における最初の固有値の単調性と等高線の性質を用いて、一意性と符号性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の重み関数を伴う無限大ラプラシアン固有値問題に対して、主固有値が存在するか？
• RQ2 有界領域における無限大ラプラシアンに対して、正の固有関数を構成できるか？
• RQ3 星型領域またはC²領域において、高次の固有関数は必ず符号を変えるか？
• RQ4 球上で回転対称な最初の固有関数は、スカラー倍を除いて一意的か？
• RQ5 重み関数が定数である場合、無限個の固有値が回転対称な固有関数を支えるか？

主な発見

• 最初の固有値 $ \lambda_{\Omega} $ は存在し、正であり、$ C(\overline{\Omega}) $ 内にそれに対応する正の固有関数が存在する。
• 球 $ B_R(o) $ において、最初の固有関数は径方向で、正であり、スカラー倍を除いて一意的である。
• 重み関数 $ a(x) $ が径方向で定数であるとき、径方向固有値問題は無限個の固有値を有する。
• $ C^2 $ または星型領域において、高次の固有値に対応する固有関数は符号を変える。
• 最初の固有値は領域の包含関係に関して厳密に単調である：$ A \subset B $ ならば $ \lambda_A > \lambda_B $ である。
• $ \lambda < \lambda_\Omega $ の場合、比較原理が成り立ち、非同次問題の存在結果が得られる。