[論文レビュー] An elementary approach to C*-algebras associated to topological graphs

Hui Li, David Pask+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、C*-対応の使用を避け、普遍的表現と共変表現を用いて、位相的グラフのC*-代数の初等的構成を提示する。Toeplitz代数とKatsuraの位相的グラフC*-代数が、$C_0(E^0)$ と $C_c(E^1)$ における単純な関係によって定義される普遍的C*-代数として生じることを確立し、出発点がなく、行が有限な有向グラフのC*-代数と、その無限路空間とシフト写像から導かれる関連する位相的グラフのC*-代数との間に同型が存在することを示す。

ABSTRACT

We develop notions of a representation of a topological graph E and of a covariant representation of a topological graph E which do not require the machinery of C*-correspondences and Cuntz-Pimsner algebras. We show that the C*-algebra generated by a universal representation of E coincides with the Toeplitz algebra of Katsura's topological-graph bimodule, and that the C*-algebra generated by a universal covariant representation of E coincides with Katsura's topological graph C*-algebra. We exhibit our results by constructing the isomorphism between the C*-algebra of a row-finite directed graph E with no sources and the C*-algebra of the topological graph arising from the shift map acting on infinite path space E^\infty.

研究の動機と目的

• C*-対応やCuntz-Pimsner代数の技術的道具を用いずに、位相的グラフの表現理論を構築すること。
• Toeplitz代数とKatsuraの位相的グラフC*-代数を、$C_0(E^0)$ と $C_c(E^1)$ の要素のみを用いて、普遍的C*-代数として定義すること。
• 特に、カントール最小系や$\mathbb{Z}$による交叉積のケースにおいて、像が閉じた局所ホメオモルフィズムである範囲写像の場合に、共変条件がどのように簡略化されるかを明らかにすること。
• 出発点がなく、行が有限な有向グラフのC*-代数と、その無限路空間とシフト写像から導かれる関連する位相的グラフのC*-代数との間の同型を、直接的かつ初等的な証明で示すこと。

提案手法

• 位相的グラフ$E$の表現を、$C_0(E^0)$ 上の非退化*-準同型$\pi$ と $C_c(E^1)$ 上の線形写像$\psi$ からなる対$(\pi, \psi)$として導入し、$f \in C_0(E^0)$、$x \in C_c(E^1)$ に対して $\psi(f \cdot x) = \pi(f) \psi(x)$ および $\psi(x \cdot f) = \psi(x) \pi(f)$ を満たすように定義する。
• 共変表現を、$x,y \in C_c(E^1)$ に対して $\psi(x)^* \psi(y) = \pi(\widehat{x^*y})$ を満たすように定義する。ここで $\widehat{x^*y}$ は、$x$ の出発点と $y$ の終点における $x^*$ と $y$ の点毎の積である。
• Toeplitz代数 $\mathcal{T}(E)$ と共変普遍代数 $\mathcal{O}(E)$ の普遍性を用いて、$\mathcal{T}(E)$ がKatsuraのToeplitz代数と同型であり、$\mathcal{O}(E)$ がKatsuraの位相的グラフC*-代数と同型であることを示す。
• 無限路空間 $E^\infty$ と左シフト $\sigma$ を用いて、$\widehat{E}^0 = \widehat{E}^1 = E^\infty$、出発写像 $\sigma$（左シフト）、終点写像を恒等写像とする位相的グラフ $\widehat{E}$ に理論を適用し、$\mathcal{O}(\widehat{E}) \cong C^*(E)$ を示す。
• Cuntz-Krieger $E$-系列が$B$に存在するとき、$C^*(E)$ から $B$ へのホモモールフィズム $\rho: C^*(E) \to B$ を構成することで、$C^*(E)$ が $\mathcal{O}(\widehat{E})$ の普遍性を示す。
• ゲージ不変性の独自性定理と、範囲写像がホメオモルフィズムであることから、共変性の検証を行い、命題4.12を用いて表現を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-対応やCuntz-Pimsner代数を用いずに、位相的グラフのC*-代数を定義できるか？
• RQ2 位相的グラフの表現によって生成される普遍的C*-代数が、KatsuraのToeplitz代数と一致するか？
• RQ3 位相的グラフの普遍的共変表現が、Katsuraの位相的グラフC*-代数を生じるか？
• RQ4 行が有限で出発点のない有向グラフのC*-代数と、その無限路空間上のシフト写像を用いて定義される関連する位相的グラフのC*-代数との同型は、初等的手法で確立できるか？
• RQ5 範囲写像が像が閉じた局所ホメオモルフィズムである場合、共変条件はどのように簡略化されるか？

主な発見

• 位相的グラフ$E$のToeplitz代数 $\mathcal{T}(E)$ は、$C_0(E^0)$ と $C_c(E^1)$ における$E$の表現によって生成される普遍的C*-代数と同型である。
• Katsuraの位相的グラフC*-代数 $\mathcal{O}(E)$ は、$E$の共変表現によって生成される普遍的C*-代数と同型である。
• 範囲写像 $r: E^1 \to E^0$ が局所ホメオモルフィズムであり、$r(E^1)$ が閉じている場合、共変条件は著しく簡略化され、表現の直接的検証が可能になる。
• 出発点がなく、行が有限な有向グラフ$E$のC*-代数は、無限路空間 $E^\infty$ 上に定義された位相的グラフ $\widehat{E}$ のC*-代数と自然に同型である。ここで、$\widehat{E}^0 = \widehat{E}^1 = E^\infty$、出発写像はシフト写像 $\sigma$、終点写像は恒等写像である。
• $\mathcal{O}(\widehat{E}) \cong C^*(E)$ の同型は、$C^*(E)$ における共変Toeplitz表現の初等的構成と普遍性の議論によって確立される。
• 証明はC*-対応を用いず、初等的な関数解析的道具とゲージ不変性の独自性定理にのみ依拠している。