[论文解读] An Elementary Approach to Truncations

Nima Rasekh|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在$(\infty,1)$-范畴中构造和分析截断的初等方法，无需依赖无限上积或集合论基础。通过利用自然数对象和范畴（对象分类器），它定义了内部截断层次，并通过内部右柯朗扩张构造局部化函子，从而在非可表示的设定下证明了经典结果（如Blakers-Massey定理），并揭示了某些范畴中非标准的截断层次。

ABSTRACT

We study truncated objects using elementary methods. Concretely, we use universes and the resulting natural number object to define internal truncation levels and prove they behave similar to standard truncated objects. Moreover, we take an elementary approach to localizations, giving various equivalent conditions that characterize localizations and constructing a localization out of a sub-universe of local objects via an internal right Kan extension. We then use this general approach, as well as an inductive approach, to construct truncation functors. We use the resulting truncation functors to prove classical results about truncations, such as Blakers-Massey theorem, in the elementary setting. We also give examples of non-presentable $(\infty, 1)$-categories where the elementary approach can be used to define and compute truncations. Finally, we turn around and use truncations to study elementary $(\infty, 1)$-toposes and show how they can help us better understand subobject classifiers and universes

研究动机与目标

• 开发一个避免无限上积和集合论构造的$(\infty,1)$-范畴中截断的基础框架。
• 利用自然数对象和范畴定义内部截断层次，将标准截断理论推广至初等$(\infty,1)$-拓扑斯。
• 通过局部对象的子范畴上的内部右柯朗扩张构造局部化函子，实现在无需可表示性条件下的截断函子。
• 仅使用初等方法在一般$(\infty,1)$-范畴中证明经典同伦论结果（如Blakers-Massey定理）。
• 探索非可表示$(\infty,1)$-范畴中截断表现出非标准行为的情形，例如出现非标准截断层次。

提出的方法

• 使用自然数对象内化归纳法和序列上积，实现截断的归纳构造。
• 利用范畴（对象分类器）在范畴内部定义和推理对象集合，避免外部集合论构造。
• 将局部化函子构造为沿局部对象子范畴的内部右柯朗扩张，以初等方式推广局部化过程。
• 应用连接构造和内部序列上积，将$(-1)$-截断定义为迭代连接序列的上积。
• 利用范畴和自然数对象的内部结构，通过循环空间迭代归纳定义$n$-截断函子。
• 将该理论应用于在初等设定下证明Blakers-Massey定理，通过截断刻画模态性和连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设可表示性或无限上积的前提下，在$(\infty,1)$-范畴中定义和构造截断？
• RQ2 如何利用范畴和自然数对象在内部构造局部化函子？
• RQ3 在非可表示$(\infty,1)$-范畴中，内部截断有何影响，特别是对截断层次的影响？
• RQ4 是否可以仅使用初等方法在一般$(\infty,1)$-范畴中证明经典定理（如Blakers-Massey定理）？
• RQ5 范畴和自然数对象如何协同支持初等$(\infty,1)$-拓扑斯中的内部同伦论？

主要发现

• $A$的$(-1)$-截断被构造为连接序列$A^{\ast n}$的序列上积，提供了一种无需无限上积的初等构造。
• 局部化函子被构造为沿局部对象子范畴的内部右柯朗扩张，以初等方式推广了局部化过程。
• $n$-截断函子通过$n$-次截断循环空间归纳定义，建立了通过内部归纳的截断层次结构。
• 在初等设定下，利用构造的截断函子和模态性证明了Blakers-Massey定理，无需依赖空间而恢复了经典结果。
• 在非可表示$(\infty,1)$-范畴中（如缺乏可数上积的某些拓扑斯），如第6.3节所示，可能出现非标准截断层次。
• 范畴和自然数对象使得对初等$(\infty,1)$-拓扑斯中子对象分类器和内部逻辑的理解更加精细。