[論文レビュー] An Elementary Proof for the Structure of Wasserstein Derivatives

Cong Wu, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Molecular spectroscopy and chirality被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、L² 空間上の法則不変関数に対する Wasserstein 衍導の構造について、初等的な証明を提示する。連続的に微分可能な法則不変関数 F が確率変数 ξ において Fréchet 衍導をとるとき、その導関数はほとんど確実に、ξ の分布にのみ依存する決定的関数 g(ξ) に等しいことを示し、平均場計算および確率解析における基礎的結果を確立する。

ABSTRACT

Let $F: \mathbb{L}^2(Ω, \mathbb{R}) o \mathbb{R}$ be a law invariant and continuously Fréchet differentiable mapping. Based on Lions \cite{Lions}, Cardaliaguet \cite{Cardaliaguet} (Theorem 6.2 and 6.5) proved that: \bea \label{Derivative} D F (ξ) = g(ξ), \eea where $g: \mathbb{R} o \mathbb{R}$ is a deterministic function which depends only on the law of $ξ$. See also Carmona \& Delarue \cite{CD} Section 5.2. In this short note we provide an elementary proof for this well known result. This note is part of our accompanying paper \cite{WZ}, which deals with a more general situation.

研究の動機と目的

• 法則不変で連続的に Fréchet 微分可能な関数 F の Wasserstein 衍導が g(ξ) の形に書けるという、よく知られた結果の自己完結的で初等的な証明を提供すること。
• Lions が Wasserstein 空間上で展開した変分法の高度な道具に依存せずに、この結果を確立すること。
• 非原子的確率空間の構造を用いて、離散的確率変数から一般の確率変数への近似により、この結果を拡張すること。
• 導関数が特定の確率変数の表現ではなく、分布にのみ依存することを明確にすること。
• 将来の研究において、過程や関数の可測性に関する一般化の基盤を築くこと。同伴論文 [5] で概説されている。

提案手法

• 離散的近似の使用：実数直線の dyadic 分割を用いて、一般の確率変数 ξ を離散的確率変数 ξₙ の列で近似する。
• 各離散的 ξₙ に対して、ξₙ の等値集合における指示関数の方向への方向微分を用いて、導関数 DF(ξₙ) を明示的に導出する。
• 等質量集合が関連する確率変数の定数性を示す重要な補題を用いて、DF(ξₙ) が ξₙ の各等値集合上でほとんど確実に定数であることを示す。
• DF(ξₙ) = gₙ(ξₙ) を満たす可測関数 gₙ を構成し、それらを ℝ 上への区分定数拡張により ̃gₙ に拡張する。
• F の連続微分可能性を用いて、n → ∞ のとき ̃gₙ(ξ) が L² で DF(ξ) に収束することを証明する。
• ξ の台上でほとんど確実に、部分列における点灯極限 g(x) を抽出し、g(ξ) = DF(ξ) a.s. および g が ξ の分布にのみ依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wasserstein 空間上の変分法の高度な道具を用いずに、確率論および解析学の初等的道具のみを用いて、法則不変関数に対する Wasserstein 衍導の構造を証明できるか？
• RQ2 なぜ法則不変関数 F の ξ における Fréchet 衍導が、ξ の関数としての決定的関数に等しくなるのか？また、その関数はなぜ ξ の分布にのみ依存するのか？
• RQ3 等値集合内での質量をずらす摂動に沿った方向微分から、このような決定的関数 g をどのように明示的に構成できるか？
• RQ4 基礎となる確率空間の非原子的構造が、ξ の等値集合上で導関数が定数であることを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 この結果を一般の過程やより一般的な関数へ拡張できるか？また、導関数関数の同時可測性を保証する条件は何か？

主な発見

• Fréchet 衍導 DF(ξ) は、ほとんど確実に g(ξ) に等しく、g は ξ の特定の表現に依存せず、ξ の分布にのみ依存する決定的関数である。
• 原子をもつ離散的 ξ に対して、関数 g は明示的に g(xᵢ) = lim_{ε→0} [f(∑_{j≠i} pⱼ δ_{xⱼ} + pᵢ δ_{xᵢ+ε}) - f(∑ pⱼ δ_{xⱼ})] / (ε pᵢ) で与えられ、これは分布にのみ依存する。
• 導関数 DF(ξ) は、各等値集合 {ξ = xᵢ} 上でほとんど確実に定数である。これは非原子的確率空間と、等質量集合に関する重要な補題の結果である。
• 近似離散導関数 gₙ(ξₙ) の極限は L² で DF(ξ) に収束し、ξ の台上でほとんど確実に点灯極限関数 g(x) が存在する。
• 関数 g は、与えられた分布を持つ確率変数 ξ の選択に依存しないため、真に分布と値 x の関数である。
• この結果は、過程のケースへ拡張可能であり、均等連続性の下で g(μ,x) の同時可測性が保証される。同伴論文 [5] で議論されている。