[論文レビュー] An elementary recursive bound for effective Positivstellensatz and Hilbert 17-th problem

Henri Lombardi, Daniel Perrucci+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 16被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、非負性および符号条件系の不可能性の証明における多項式の次数に対する基本的な再帰的上限を確立し、ヒルベルトの17番目の問題とシュテングレのポジティヴィスツェレントサツを明示的な次数推定とともに解決する。非負多項式が $k$ 変数で次数 $d$ であるとき、その多項式は、分子および分母の次数が五重指数関数的タワー $2^{2^{2^{d^{4^{k}}}}}$ で抑えられる有理関数の平方和として表現可能であることが示され、実代数幾何学と消去理論を用いた代数的証明によって裏付けられる。

ABSTRACT

We prove elementary recursive bounds in the degrees for Positivstellensatz and Hilbert 17-th problem, which is the expression of a nonnegative polynomial as a sum of squares of rational functions. We obtain a tower of five exponentials. A precise bound in terms of the number and degree of the polynomials and their number of variables is provided in the paper.

研究の動機と目的

• ヒルベルトの17番目の問題を構成的に解決するため、非負多項式を平方和として表現する有理関数の次数に対する有効的かつ基本的な再帰的上限を提供すること。
• シュテングレのポジティヴィスツェレントサツにおける符号条件系の不可能性の代数的証明の次数上限を明示的に導出すること。
• 基本的再帰関数と消去技術を用いて、実代数幾何学における構成的次数上限を統合的かつ拡張的に扱うこと。
• 実閉体上での多項式系における正性と可能性に関する定量的かつ計算可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• シュテングレのポジティヴィスツェレントサツを構成的に証明するため、非負錐内における平方和と単項式の組み合わせによる不可能性の代数的証明を用いる。
• 実閉体上での消去理論を適用し、トム符号化と実根順序を用いて符号条件を証明する。
• エルミートの二次形式とシルベスターの慣性法則を用いて、実根の数を数え、符号パターンを分析する。
• 結果式および判別式の境界を用いて変数を反復的に消去することで、次数に関する再帰的境界を構築する。
• 指数関数を含む再帰関数を用いて次数推定を導出し、有理表現における分子および分母の次数の増大を明示的に制御する。
• 中間式の複雑さを制限するための技術的補題を用い、消去プロセスにおける中間表現の複雑さを保証し、基本的再帰性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負多項式を平方和として表現する有理関数の次数の最小の可能性のある上限は何か？
• RQ2 シュテングレのポジティヴィスツェレントサツにおける証明の次数に対して、有効的かつ基本的な再帰的上限を確立できるか？
• RQ3 変数の数、多項式の次数、不等式の数が増加するにつれて、証明の次数はどのように増大するか？
• RQ4 ヒルベルトの17番目の問題の証明を、明示的な次数推定とともに有効的に可能にすることができるか？
• RQ5 実代数幾何学におけるこのような表現の複雑さを支配する正確な指数関数的タワーは何か？

主な発見

• $k$ 変数で次数 $d$ の非負多項式は、分子および分母の次数が $2^{2^{2^{d^{4^{k}}}}}$ で抑えられる有理関数の平方和として表現可能である。
• $s$ 個の多項式、$k$ 変数、最大次数 $d$ を持つ符号条件系について、シュテングレのポジティヴィスツェレントサツにおける代数的証明の次数は、五重指数関数的タワー $2^{2^{ig(2^{ ext{max}igrace{2,digrace}^{4^{k}}+s^{2^{k}} ext{max}igrace{2,digrace}^{16^{k} ext{bit}(d)}ig)}}}$ で抑えられる。
• この上限は基本的再帰的である。つまり、有限の指数関数的タワーによって計算可能であり、実代数幾何学における有効的構成性の要件を満たす。
• 証明は、トム符号化とエルミート理論を用いて根の順序と符号条件を制御する、実閉体上での再帰的変数消去プロセスに依存する。
• 結果式、判別式、および中間代数的式における係数の増大の詳細な分析を通じて、次数の上限が導出される。
• 本研究は、ヒルベルトの17番目の問題およびシュテングレのポジティヴィスツェレントサツの両方について、初めて明示的かつ基本的再帰的次数上限を提供し、有効な実代数幾何学における長年の未解決問題を解決する。