[論文レビュー] An expansion for self-interacting random walks

Remco van der Hofstad, M.P. Holmes|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、自己相互作用ランダムウォークに対する摂動展開を導入し、既知の存在条件のもとで速度および分散の明示的公式を可能にする。小さな励起または強化パラメータの下で、高次元における目覚ましいランダムウォークおよび強化ランダムウォークに対して、明示的な誤差項を伴う大数の法則および中心極限定理を確立する。

ABSTRACT

We derive a perturbation expansion for general self-interacting random walks, where steps are made on the basis of the history of the path. Examples of models where this expansion applies are reinforced random walk, excited random walk, the true (weakly) self-avoiding walk, loop-erased random walk, and annealed random walk in random environment. In this paper we show that the expansion gives rise to useful formulae for the speed and variance of the random walk, when these quantities are known to exist. The results and formulae of this paper have been used elsewhere by the authors to prove monotonicity properties for the speed (in high dimensions) of excited random walk and related models, and certain models of random walk in random environment. We also derive a law of large numbers and central limit theorem (with explicit error terms) directly from this expansion, under strong assumptions on the expansion coefficients. The assumptions are shown to be satisfied by excited random walk in high dimensions with small excitation parameter, a model of reinforced random walk with underlying drift and small reinforcement parameter, and certain models of random walk in random environment under strong ellipticity conditions. This is the extended version of the paper, where we provide all proofs.

研究の動機と目的

• 自己相互作用ランダムウォークの一般化された摂動展開を構築し、その長時間挙動を分析すること。
• これらの量が存在する場合に、速度および分散の明示的公式を提供することで、解析的取り扱いの容易さを向上させること。
• 目覚ましいランダムウォークや強化ランダムウォークのようなモデルに対して、明示的な誤差項を伴う大数の法則および中心極限定理を確立すること。
• 展開係数に関する強い仮定のもとで展開の適用可能性を検証し、高次元における主要なモデルで成り立つことを示すこと。
• 特に摂動的領域において、自己相互作用モデルにおける単調性およびスケーリング行動のパラメータ依存解析を可能とすること。

提案手法

• 経路の歴史および遷移確率の依存関係に基づいて、自己相互作用ランダムウォークの摂動展開を導出すること。
• 展開を用いて、位置の増分の共分散を過去のステップおよびドリフト補正を含む係数で表すこと。
• 期待位置および共分散の再帰的関係を、係数 $ a_m^{[i]} $ および $ \pi_m(y) $ を用いた摂動補正を組み込んで導出すること。
• 係数 $ a_m^{[i]} $ および $ \theta_r^{[i]} $ を含むテイル和のバインドを用いて補正項の収束を確立し、漸近的有効性を保証すること。
• 展開を用いて、展開係数に関する強い仮定のもとで、大数の法則および中心極限定理の明示的誤差項を導出すること。
• 励起パラメータが小さい場合の目覚ましいランダムウォーク、ドリフト付きの一度強化ランダムウォーク、強い強調性を満たす場合の確率的環境におけるランダムウォークのモデルで、必要な仮定が満たされることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相互作用ランダムウォークに対して、一般化された摂動展開を導出できるか。その展開により、速度および分散の分析が可能か。
• RQ2 展開が、明示的な誤差項を伴う大数の法則および中心極限定理を導くための条件は何か。
• RQ3 高次元における小さな励起パラメータのもとで、目覚ましいランダムウォークに対して展開係数が必要な減少性および可summable性条件を満たすか。
• RQ4 展開を用いて、自己相互作用モデルにおける速度の単調性特性を導出できるか。
• RQ5 本手法は確率的環境におけるランダムウォークに適用可能か。また、どのような条件下でCLTが得られるか。

主な発見

• 摂動展開により、自己相互作用ランダムウォークの速度および分散の明示的公式が、これらの量が存在する場合に得られる。
• 励起パラメータが小さい場合に、次元 $ d \geq 6 $ では目覚ましいランダムウォークに対して大数の法則が、次元 $ d \geq 9 $ では中心極限定理が、明示的な誤差項を伴って導出される。
• ドリフト付きの一度強化ランダムウォークに対しても、強化パラメータがドリフトに対して十分に小さい場合に同様の結果が得られる。
• 展開係数に関する仮定が、高次元における小さな励起パラメータの目覚ましいランダムウォークおよび小さな強化パラメータの強化ランダムウォークで満たされることを示した。
• 本手法により、パラメータ依存の推定および単調性結果の導出フレームワークが提供され、その後の応用でその有効性が示された。
• 展開により、CLTの定量的誤差バインディングが導出可能であり、再生およびエルゴード的手法とは補完的なアプローチを提供する。