[論文レビュー] An Expected Linear-Time Algorithm for the Farthest-Segment Voronoi Diagram

Elena Khramtcova, Evanthia Papadopoulou|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無限遠における面の列が3次Davenport-Schinzel列をなすものとして、最遠線分ボロノイ図の期待線形時間アルゴリズムを提示する。この手法は、ガウス写像から得られる弧列に基づく確率的インクリメンタル構築法を用い、非連結なボロノイ領域を新たな中間構造で処理することで、図の複雑さhに対してO(h)の期待時間で実現する。

ABSTRACT

We present an expected linear-time algorithm to construct the farthest-segment Voronoi diagram, given the sequence of its faces at infinity. This sequence forms a Davenport-Schinzel sequence of order 3 and it can be computed in O(n log n) time, where n is the number of input segments. The farthest-segment Voronoi diagram is a tree, with disconnected Voronoi regions, of total complexity Theta(n) in the worst case. Disconnected regions pose a major difficulty in deriving linear-time construction algorithms for such tree-like Voronoi diagrams. In this paper we present a new approach towards this direction.

研究の動機と目的

• 最遠線分ボロノイ図—非連結領域を有する木構造であり、効率的な構築を複雑にする—の線形時間アルゴリズムの開発。
• 点ボロノイ図に用いられる確率的インクリメンタルフレームワークを、非点的サイト（特に線分）へと拡張すること。非連結領域が引き起こす構造的課題を克服する。
• 無限遠におけるボロノイ面の列が3次Davenport-Schinzel列をなすという複雑さを扱うこと。これは部分集合演算において部分列性を保たない。
• 抽象ボロノイ図とは等価ではないが、線分ボロノイ図と構造的に類似した「弧列の適切な最遠ボロノイ図」という新たな中間図のクラスを確立すること。
• 今後の決定的線形時間アルゴリズムおよび動的更新、高階ボロノイ図への応用の基盤を提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、入力線分のガウス写像から得られる弧を確率的な順序で処理することで、最遠線分ボロノイ図を段階的に構築する。
• 元の弧と、中間ボロノイ構造を表すために新たに導入された仮想弧を含む拡張された弧列G′_iを維持する。
• 各新しい弧α_{i+1}の挿入は、現在の最遠ボロノイ図FVD(G′_i)に対して行われ、確率化のおかげで1回の挿入あたり期待定数時間で実行可能である。
• 後向き解析を用いる：α_{i+1}の挿入コストの期待値は、FVD(G′_{i+1})におけるランダムな面とその隣接面の期待複雑さによって上限が定まる。これらはFVD(G′_i)のサイズがO(i)であるため、O(1)である。
• α_{i+1}の挿入効果をモデル化するために、G′_iにおける連続する元の弧の間に新しい弧が導入され、その数は期待的に1ステップあたりO(1)であることが示される。
• FVD(G′_i)がO(i)の複雑さを有する適切な木構造のまま保たれることを活用し、全体としての線形期待時間の達成を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限遠における面の列が与えられた場合、最遠線分ボロノイ図を期待線形時間で構築できるか？
• RQ2 最遠線分図における非連結ボロノイ領域を、確率的インクリメンタル構築フレームワーク内でどのように処理できるか？
• RQ3 段階的構築中に形成される中間図の構造的性質は何か？ そして、これらは線形時間計算量の達成に利用可能か？
• RQ4 なぜボロノイ面の列の部分列性が、線分の部分集合に対して失敗するのか？ そして、これはアルゴリズム設計にどのように影響するか？
• RQ5 本稿で用いられた確率的インクリメンタルアプローチは、類似した構造的課題を有する他の木構造ボロノイ図に対しても適応可能か？

主な発見

• 最遠線分ボロノイ図は最悪ケースでΘ(n)の総複雑さを有し、非連結領域を有する木構造を形成する。
• 無限遠におけるボロノイ面の列は3次Davenport-Schinzel列をなし、O(n log n)時間で計算可能である。
• 段階的構築における各挿入ステップで導入される新規弧の期待数はO(1)であり、線形期待時間計算量の達成に寄与する。
• アルゴリズムは、最終的な最遠線分ボロノイ図の複雑さhに対して期待O(h)時間で実行され、期待的に最適である。
• 中間図FVD(G′_i)は、O(i)の複雑さを有する弧列の適切な最遠ボロノイ図であり、抽象ボロノイ図とは異なる構造的性質を有する。
• 決定的線形時間構築法は、確率的アプローチの成功にもかかわらず、未解決の問題のままである。