[論文レビュー] An exploration of normalish subgroups of R. Thompson's groups $F$ and $T$

Collin Bleak|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、R. Thompsonの群 $F$ が正規的らしきアーベル部分群を含み、$T$ における標準的な $F$ のコピーが $T$ で正規的らしきこと、を示している。これらの結果は、$F$ が非アーベル的であるならば、$T$ は正規的らしきアーベル部分群を持たないという予想を支持しており、その結果、$T$ の縮小された $C^*$-代数が単純であることを示唆する。

ABSTRACT

In this short note, we show that R. Thompson's group $F$ admits a normalish amenable subgroup, and that the standard copy of $F$ in R. Thompson's group $T$ is normalish in $T$. We further conjecture that if $F$ is non-amenable, then $T$ does not admit a normalish amenable subgroup, and therefore that the reduced $C^*$ algebra of $T$ is in fact simple in that case.

研究の動機と目的

• R. Thompsonの群 $F$ および $T$ に正規的らしきアーベル部分群が存在するかを調査すること。
• このような部分群が $T$ の $C^*$-単純性に与える影響を調査すること。
• 正規的らしきアーベル部分群が存在しないことと、$T$ の $C^*$-単純性との関係をテストすること、特に $F$ が非アーベル的である場合を想定して。
• 群 $F$ や非アーベル自由部分群を埋め込まない部分群が $T$ にどのような構造的制約を受けるかを検討すること。

提案手法

• 標準的生成子 $x_0$ と、$\operatorname{supp}(b) = (1/4, 1/2)$ を満たす $b$ を用いて、$W = \langle x_0, b \rangle \leq F$ を定義し、制限されたワイヤード積 $\mathbb{Z} \wr_r \mathbb{Z}$ を構成する。
• 群 $W$ の基本群 $D$ が $\bigoplus_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}$ に同型であり、$x_0$ による $b$ の共役によって生成されることを示し、$D$ がアーベル的であることを証明する。
• 任意の有限個の共役変換子に対して、$D$ の共役の共通部分集合が無限大であることを示すことにより、$D$ が $F$ で正規的らしきことを証明する。
• 任意の $T$ の有限集合に対して、その共役の共通部分集合が無限大であることを示すことにより、$T$ における $F$ の標準的コピーが正規的らしきことを確立する。
• $F$ が任意の二進区間上で $F$ に同型な部分群を含むことを利用して、$T$ 内の $F$ の共役の共通部分集合が無限大であることを示す。
• Brinの普遍性定理と固定点補題を用いて、$F$ や自由部分群を埋め込まない部分群の構造的制約を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R. Thompsonの群 $F$ は正規的らしきアーベル部分群をもつか？
• RQ2 $T$ における $F$ の標準的コピーは正規的らしきか？
• RQ3 $F$ が非アーベル的であるならば、$T$ は正規的らしきアーベル部分群を持たず、$T$ は $C^*$-単純であると結論づけられるか？
• RQ4 群 $F$ や非アーベル自由部分群を埋め込まない部分群は、$T$ においてどのような構造的制約を受けるか？

主な発見

• R. Thompsonの群 $F$ は正規的らしきアーベル部分群を含み、特に制限されたワイヤード積構成における基本群 $D \cong \bigoplus_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}$ である。
• $T$ における $F$ の標準的コピーは正規的らしきであり、$T$ の任意の有限集合に対する共役の共通部分集合が無限大であるためである。
• 共通部分集合 $\mathscr{I} = \bigcap_{1 \leq i \leq m} F^{k_i}$ は、$0$ の軌道から離れた二進区間上で $F$ に同型な部分群を含むため、無限大である。
• この構成は、$F$ が $0$ の近傍で線形的に作用することに依存しており、$b$ の共役が $0$ の近傍に集積することにより、$D$ の共役の共通部分集合が無限大であることが保証される。
• 論文は、$T$ のすべての正規的らしき部分群は、$F$ の埋め込みまたは非アーベル自由部分群を含むべきであると予想している。
• これらの結果は、$F$ が非アーベル的であるならば、$T$ は正規的らしきアーベル部分群を持たず、$T$ の縮小された $C^*$-代数が単純であるという予想を支持する。