[論文レビュー] An exploration of the black hole entropy in Gauss-Bonnet gravity via the Weyl tensor

Taha A Malik, Rafael López-Mobilia|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、5次元のガウス＝ボンネット重力理論において、Weylテンソルの二乗 $ C_{\mu\nu\lambda\rho}C^{\mu\nu\lambda\rho} $ が物理的妥当なエントロピー密度として機能できるかどうかを検討する。次元解析とスカラーマニフォールド上での明示的積分を用いて、Weyl曲率スカラーの積分がワルドの方法により導かれた正しいブラックホールエントロピーの公式を再現しないことが判明した。主な結果として、提案されたエントロピー密度は次元の不一致と物理的に不適切な負の寄与により、既知のエントロピースケーリングと一致せず、高次曲率重力理論における修正された曲率依存エントロピー密度の必要性が示唆される。

ABSTRACT

Penrose suggested that issues with the origin of the second law of thermodynamics and the remarkable homogeneous and isotropic nature of the universe on large scales can be resolved with a concept of an entropy for gravitational fields captured by the Weyl curvature tensor. This has led to various proposals for an entropy density for gravity constructed from the Weyl tensor. Most work investigating such entropy densities have been restricted to general relativity and little work has been done to them in modified theories of gravity. To remedy this, we investigate the simplest proposal for an entropy density in 5-dimensional Gauss-Bonnet gravity.

研究の動機と目的

• Weyl曲率スカラー $ P^2 = C_{\\mu\\nu\\lambda\\rho}C^{\\mu\\nu\\lambda\\rho} $ が、修正重力理論における重力的エントロピー密度として機能可能かどうかを調査すること。
• このWeylに基づくエントロピー密度が、5次元ガウス＝ボンネット重力理論において既知のブラックホールエントロピー公式を再現できるかどうかを検証すること。
• 特に次元的一致性と物理的妥当性の観点から、高次曲率重力理論においてWeylテンソルのみをエントロピーに用いることの制限を特定すること。
• Weylテンソルまたは修正された曲率不変量が、ガウス＝ボンネット重力理論におけるペンローズのWeyl曲率予想を一般化するために使用可能かどうかを評価すること。

提案手法

• $ k = 1 $、$ \Lambda = 0 $、および小さな $ \alpha $-補正を持つ5次元ガウス＝ボンネット重力理論における静的真空中のブラックホール解を用いる。
• Weylテンソルの二乗 $ C_{\mu\nu\lambda\rho}C^{\mu\nu\lambda\rho} $ を $ \alpha $ の1次まで計算し、$ \sim \frac{9M_1^2}{2r^8} - \alpha \frac{21M_1^3}{r^{12}} $ の結果を得る。
• 時刻的キリングベクトルに直交するスカラーマニフォールド上での積分を実行し、$ dV_4 = r^3 |F(r)|^{-1} dr d\Omega_3 $ を用いる。
• 積分 $ \int C_{\mu\nu\lambda\rho}C^{\mu\nu\lambda\rho} dV_4 $ に対して次元解析を実施し、主項スケーリングが $ \sim \left(\frac{R_5}{l_p}\right)^{n_1} $、1次補正が $ \sim \alpha \frac{1}{R_5^2} \left(\frac{R_5}{l_p}\right)^{n_2} $ であることを特定する。
• Weylに基づく積分のスケーリングを、既知のガウス＝ボンネットブラックホールエントロピー $ S_{BH} \propto \frac{A}{l_p^3} \left(1 + \frac{12\alpha k}{R_5^2}\right) $ と比較する。
• ホライズン付近での挙動を分析し、$ O(\alpha) $ 積分に特徴的な発散を同定。主な寄与は $ r \sim l_p $ の領域に由来し、ホライズン領域ではないと結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weyl曲率スカラー $ C_{\mu\nu\lambda\rho}C^{\mu\nu\lambda\rho} $ は5次元ガウス＝ボンネット重力理論において一貫したエントロピー密度をもたらすか？
• RQ2 Weylテンソルの二乗の積分は、ワルドのノエター電荷法により導かれた既知のブラックホールエントロピー公式を再現できるか？
• RQ3 高次曲率重力理論においてWeylテンソルをエントロピー密度に用いる際の次元的および物理的整合性の問題は何か？
• RQ4 なぜWeylに基づくエントロピー積分は正しいエントロピースケーリングと一致しないのか。どのような修正が必要か？

主な発見

• Weyl曲率スカラーの積分 $ \int C_{\mu\nu\lambda\rho}C^{\mu\nu\lambda\rho} dV_4 $ は、主項として $ \sim \left(\frac{R_5}{l_p}\right)^7 $ のスケーリングを示すが、正しいブラックホールエントロピーは $ \sim \left(\frac{R_5}{l_p}\right)^3 $ のスケーリングを示すため、次元の不一致が生じる。
• Weyl積分の1次補正は $ \sim \alpha \frac{1}{R_5^2} \left(\frac{R_5}{l_p}\right)^7 $ とスケーリングされるが、既知のガウス＝ボンネットエントロピーの $ \sim \alpha \frac{1}{R_5^2} \left(\frac{R_5}{l_p}\right)^3 $ のスケーリングとは一致しない。
• Weylテンソルの二乗は、$ r \lesssim (\alpha^{1/2} R_5)^{1/2} $ の領域で $ \alpha $ に比例する負の寄与を生じ、大規模ブラックホールでは物理的に不適切な負のエントロピー密度を示唆する。
• エントロピー密度 $ P^2 = C_{\mu\nu\lambda\rho}C^{\mu\nu\lambda\rho o} $ は解における $ k $ パrameterに依存しないが、真のブラックホールエントロピーは $ k $ に依存するため、根本的な不一致が生じる。
• 近似が $ r = R_5 $ 付近で破綻するため、ホライズンで積分が発散するが、スケーリングの主な寄与はホライズン領域ではなく、$ r \sim l_p $ の領域に由来する。
• 結果から、物質に依存しない、ベル＝ロビンソン型テンソルやスカラーの和を含む、より複雑な曲率不変量が、ガウス＝ボンネット重力理論における代替エントロピー密度として必要であると示唆される。