[論文レビュー] An Extended Discontinuous Galerkin Method for High-Order Shock-Fitting

Markus Geisenhofer, Florian Kummer+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 48被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、レベルセットを用いた衝撃波界面と、局所指標を用いた陰的擬似時間積分手順により、圧縮流れにおけるセル内精度の衝撃波適合を実現する高次拡張不連続ガレルキン（XDG）法を提案する。この手法は、1次元定常垂直衝撃波のテストケースにおいて、真の衝撃波位置への正確な収束を達成し、P0射影指標が一貫して正しい補正方向を提供することが確認された。

ABSTRACT

We present a sub-cell accurate shock-fitting technique using a high-order extended discontinuous Galerkin (XDG) method, where a computational cell of the background grid is cut into two cut-cells at the shock position. Our technique makes use of a sharp interface description where the shock front is implicitly defined by means of the zero iso-contour of a level-set function. A novel implicit pseudo-time-stepping procedure is employed to correct the position of the shock front inside the cut background cell by using cell-local indicators, since the position and shape of shock waves are not known a priori for the general, multi-dimensional case. This iterative correction terminates if the shock front has converged to the exact position. The procedure is demonstrated for the test case of a one-dimensional stationary normal shock wave. Furthermore, the underlying sharp interface approach drastically reduces the complexity of the grid handling, since a simple Cartesian background grid can be employed.

研究の動機と目的

• 圧縮流れにおける高次、セル内精度の衝撃波適合法を、拡張不連続ガレルキン（XDG）離散化を用いて開発すること。
• 多次元流れにおける衝撃波位置と形状が未知であるという課題に対処するため、反復的補正手順を導入すること。
• 人工粘性を回避し高次収束性を保ちながら、従来の衝撃波捕捉法に比べて精度と安定性を向上させること。
• レベルセット関数による鋭い界面表現により、シンプルなカルテシアン背景グリッドの使用を可能とすること。
• セル集合化と局所指標を用いた界面補正により、複雑な幾何形状における高次衝撃波適合の可能性を実証すること。

提案手法

• 衝撃波面は、カルテシアン背景グリッドのカットセル内におけるレベルセット関数のゼロ等高線として暗黙的に定義される。
• カットセル内の衝撃波位置を反復的に補正するために、標準的な陰的エイラー法を用いた陰的擬似時間積分手順が採用される。
• 局所指標（密度場のP0射影、垂直衝撃波関係、運動量に基づく再構築）を用いて、各擬似時間ステップにおける衝撃波移動の正しい方向を決定する。
• バイセクション法を用いて、指標関数の符号に基づき、衝撃界面位置を更新する。
• 小規模または歪んだカットセルにおけるシステム行列の条件数を改善するために、セル集合化が用いられる。
• 本手法は1次元定常垂直衝撃波に対して検証され、xs = 0.55における真の衝撃波位置への収束が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前に衝撃波位置と形状が不明な状況下でも、高次XDG法がセル内精度の衝撃波適合を達成できるか？
• RQ2 反復的精錬過程において、どの局所指標が最も信頼性の高い衝撃界面補正方向を提供するか？
• RQ3 陰的擬似時間積分手順は、カットセル内での真の衝撃波位置への収束をどのように保証するか？
• RQ4 メッシュの歪みや小規模なカットセルが、XDG法における衝撃波適合の安定性と精度に与える影響は何か？
• RQ5 本手法は、移動界面を有する真の2次元および非定常衝撃波問題へと拡張可能か？

主な発見

• 1次元テストケースにおいて、P0射影指標（IP⁰(ρ)）は、すべての擬似時間ステップで一貫して正しい衝撃波移動方向を提供した。
• 4回の擬似時間ステップを経て、衝撃界面はxs = 0.55の正確な位置に収束した。これにより、反復的補正プロセスの有効性が確認された。
• 垂直衝撃波関係に基づく指標（Iρ(⃗U)およびIm(⃗U)）は、t0およびt2の時点で正しい方向を提供できず、反復過程における正確なジャンプ関係に依存する手法の限界が浮き彫りになった。
• バイセクション法は、各ステップで衝撃界面位置を適切に更新し、収束の強健性を確保した。
• セル集合化の使用により、小規模および歪んだカットセルにおける条件数の問題が効果的に緩和された。
• 本手法により、人工粘性を回避し高次精度を維持する鋭い界面アプローチによる高次衝撃波適合の実現が示された。