[論文レビュー] An extension of the Cheeger-Müller theorem for a cone

Luiz Hartmann, Mauro Spreafico|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2010

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ひとこと要約

本稿は、奇数次元のコンpactな向き付けられたリーマン多様体上の偶数次元の有限メトリックコーンへ、チーバー＝ミュラー定理を拡張する。$L^2$-解析的 torsion と交差 Reidemeister torsion の等価性を、境界異常項 $A_{\rm BM,abs}(W)$ を含めて確立し、双対性とコーン構造上の調和形式および基底変換の明示的計算を用いる。

ABSTRACT

We prove the equality of the $L^2$-analytic torsion and the intersection R torsion of the even dimensional finite metric cone over an odd dimensional compact manifold.

研究の動機と目的

• 特異点を有する空間、特に奇数次元コンパクト多様体上の有限メトリックコーンへ、チーバー＝ミュラー定理を拡張すること。
• このようなコーン上での $L^2$-解析的 torsion と交差 Reidemeister torsion の対応関係を確立し、標準的 Reidemeister torsion の代わりに精密化された不変量を用いること。
• コーン特異性に起因する境界異常項 $A_{\rm BM,abs}(W)$ を組み込み、古典的境界補正チーバー＝ミュラー恒等式を一般化すること。
• $L^2$-調和形式と De Rham 写像を用いて、分岐空間上の torsion 不変量の幾何学的・位相的枠組みを提供すること。
• コーン特異性の接合公式を用いて、特異点を持つ pseudomanifolds へのチーバー＝ミュラー定理の一般化の基盤を築くこと。

提案手法

• 奇数次元コンパクト多様体 $W$ 上のコーン構造 $CW$ と、$W$ 上の $g$ から誘導される固定メトリックを用いる。
• $L^2$-コホモロジーと $L^2$-調和形式を用いて De Rham 写像を定義し、交差ホモロジーの正規基底を構成する。
• コーン上での絶対的および相対的境界条件の間の双対性を用い、径方向座標に沿った明示的積分により調和形式とそのノルムを関連付ける。
• 径方向スケーリング $l$ を用いた基底変換の行列式を計算し、$\left(\frac{l}{2p-2q}\right)^{r_q/2}$ の形の因子を得る。
• 交差 torsion の双対性公式（命題 4.1）とコーンの接合構造を用いて、最終的な torsion 恒等式を導出する。
• 既知のコーン上での解析的 torsion の公式（定理 2.1）に依拠し、交差 torsion の双対性と組み合わせて、主結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的 torsion 不変量が特異性のため失敗する、奇数次元コンパクト多様体上の有限メトリックコーンへ、チーバー＝ミュラー定理は拡張可能か？
• RQ2 De Rham 写像と $L^2$-調和形式を用いて定義される交差 Reidemeister torsion は、このようなコーン上での $L^2$-解析的 torsion と等価となるか？
• RQ3 コーン特異性の存在下で、境界異常項 $A_{\rm BM,abs}(W)$ の正確な形は何か？
• RQ4 コーン上での絶対的および相対的 torsion 間の双対性は、$L^2$-調和形式およびそのノルムの構造とどのように関係するか？
• RQ5 この結果は、コーン特異性を有する pseudomanifolds に対する一般化されたチーバー＝ミュラー定理への基盤として機能できるか？

主な発見

• $L^2$-解析的 torsion $T_{\rm abs}(CW)$ と交差 Reidemeister torsion $I\tau_{\rm R}(CW)$ は、境界異常項を除いて等価である：$\log T_{\rm abs}(CW) = \log I\tau_{\rm R}(CW) + A_{\rm BM,abs}(W)$。
• 相対的ケースでは、$\log T_{\rm rel}(CW) = \log I\tau_{\rm R}(CW,\partial CW) + A_{\rm BM,rel}(W)$ が成り立ち、同じ境界異常項の構造を持つ。
• De Rham 基底と $L^2$-調和基底の間の基底変換行列式は、$I^\mathsf{m}H_q(C_lW)$ 上で $\left(\frac{l}{2p-2q}\right)^{r_q/2}$ に等しい。
• 双対性公式 $\log I\tau_{\rm R}(C_lW) = -\log I\tau_{\rm R}(C_lW,\partial C_lW)$ は、$W$ の奇数次元性および $I^{\mathsf{m}^c}$-torsion の性質により成立する。
• 交差 torsion は複体 $\mathcal{T}^{\mathsf{m}}_{2p-1}$ を用いて計算され、$\log I\tau_{\rm R} = \frac{1}{2}\log\tau_{\rm R}(\partial C_lW, l^2g) + \frac{1}{2}\sum_{q=0}^{p-1}(-1)^q \log\left(\frac{l}{2p-2q}\right)^{r_q}$ を得る。
• 結果は、コーンのオイラー基底が De Rham 基底を $L^2$-解析的 torsion で割ったものに一致することを確認しており、Ray-Singer 距離と交差 Reidemeister 距離と整合している。