[論文レビュー] An extension operator on bounded domains and applications

M. Glück, Mei‐Jun Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界な滑らかな領域におけるリーマン・リーマン作用素を用いた鋭い Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) 不等式を確立し、領域の拡張定数が単位球のそれより大きい場合に極値関数の存在を証明する。小さな穴をもつ中空領域における調和拡張に基づくテスト関数を用いて、このような領域が極値関数の存在基準を満たすことを示し、さらにユークリッド球よりも優れた等周性を持つ領域にスカラー曲率がゼロの計量を構成する。

ABSTRACT

In this paper we study a sharp Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) type inequality with Riesz potential on bounded smooth domains. We obtain the inequality for a general bounded domain $Ω$ and show that if the extension constant for $Ω$ is strictly larger than the extension constant for the unit ball $B_1$ then extremal functions exist. Using suitable test functions we show that this criterion is satisfied by an annular domain whose hole is sufficiently small. The construction of the test functions is not based on any positive mass type theorems, neither on the nonflatness of the boundary. By using a similar choice of test functions with the Poisson-kernel-based extension operator we prove the existence of an abstract domain having zero scalar curvature and strictly larger isoperimetric constant than that of the Euclidean ball.

研究の動機と目的

• 有界な滑らかな領域における境界を含む古典的な Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式の拡張。
• このような領域における拡張作用素の極値関数が存在するための条件の特定。
• 小さな穴をもつ中空領域に対して、単位球のそれよりも拡張定数が大きいことを検証するテスト関数の構成。
• ユークリッド球のそれよりも等周定数が厳密に大きい領域にスカラー曲率がゼロの計量が存在することの証明。
• 拡張作用素と等周不等式やスカラー曲率制約を含む幾何的不等式との関連の確立。

提案手法

• 著者らは、$ x \in \Omega $ に対して $ E_{\beta,\beta}f(x) = \int_{\partial\Omega} \frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}} \, dS_y $ として拡張作用素を定義し、古典的な HLS 不等式を有界領域へ一般化する。
• 彼らは、$ E_2 $ が $ L^{2(n-1)/n}(\partial\Omega) $ から $ L^{2n/(n-2)}(\Omega) $ への作用素ノルムとしての拡張定数 $ \mathcal{E}_2(\Omega) $ を導入する。
• 中空領域 $ A_r = B_1 \setminus B_r $ における区分定数関数の調和拡張を用いて、作用素ノルムの推定に適したテスト関数を構成する。
• 調和拡張の $ L^{2n/(n-2)} $ ノルムと境界データの $ L^{2(n-1)/n} $ ノルムの漸近的解析により、$ r $ が十分に小さいとき $ \mathcal{E}_2(A_r) > \mathcal{E}_2(B_1) $ であることが示される。
• 双対性と共形不変性を用いて、拡張定数を等周比 $ I(\Omega,g) $ と関連付け、スカラー曲率制約下での最大性を証明する。
• リーマン作用素および制限作用素の正則性結果を用いて、構成された拡張の滑らかさと有界性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な滑らかな領域 $ \Omega $ に対して、拡張作用素 $ E_2 $ が極値関数をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 領域 $ \Omega $ の拡張定数が単位球 $ B_1 $ のそれよりも大きくなることは可能か？ そしてこれは極値関数にどのような意味を持つのか？
• RQ3 スカラー曲率がゼロで、等周定数がユークリッド球のそれよりも厳密に大きい領域が存在するか？
• RQ4 正の質量定理や境界の非平坦性に依存せずに、有界領域における HLS 不等式の極値関数を構成することは可能か？
• RQ5 小さな穴をもつ中空領域における拡張作用素の振る舞いは、等周不等式やヤマベ型問題といった幾何的不等式とどのように関連するか？

主な発見

• 十分に小さな $ r > 0 $ に対して中空領域 $ A_r = B_1 \setminus B_r $ において、拡張定数 $ \mathcal{E}_2(A_r) $ が単位球 $ B_1 $ のそれよりも厳密に大きくなる。これは極値関数の存在を示唆する。
• 区分定数境界データの調和拡張に基づくテスト関数の構成は、正の質量定理や境界の非平坦性に依存せず、極値関数の存在を検証する新しい手法を提供する。
• 上半空間における鋭い定数 $ \mathcal{C}_2(n, 2(n-1)/n) $ は、共形同値性と双対性を用いて有界領域へ拡張され、単位球に対して鋭い定数であることが示される。
• $ r $ が十分に小さいとき、$ g $ が標準計量と共形的でスカラー曲率がゼロであるならば、$ I(A_r, g) $ がユークリッド球のそれよりも厳密に大きくなることが証明される。
• 拡張作用素と中空領域における調和拡張の漸近的解析を用いて、等周定数が改善された領域にスカラー曲率がゼロの計量が存在することを確立する。
• 拡張作用素 $ E_2 $ は $ L^{2(n-1)/n}(\partial\Omega) $ を $ L^{2n/(n-2)}(\Omega) $ にノルム $ \mathcal{E}_2(\Omega) $ で写像し、このノルムは有限かつテスト関数を用いて計算可能である。