[논문 리뷰] An Improved Approximation Algorithm for Maximin Shares

Jugal Garg, Setareh Taki|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 28.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 추가 평가가 있는 에이전트들 사이에서 불가분 물건의 공정 분배를 위한 새로운 간단한 접근법을 제시한다. 이는 최대미니멈스택(MMS) 공정성 보장을 $(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n})$-근사로 달성한다. MMS 값의 근사화를 피하는 강력 다항시간 알고리즘을 도입하여, 특히 작은 $n$에 대해 이전의 경계를 크게 향상시키며, 이 문제에 대해 처음으로 날카로운 근사 요인을 확립한다.

ABSTRACT

Fair division is a fundamental problem in various multi-agent settings, where the goal is to divide a set of resources among agents in a fair manner. We study the case where m indivisible items need to be divided among n agents with additive valuations using the popular fairness notion of maximin share (MMS). An MMS allocation provides each agent a bundle worth at least her maximin share. While it is known that such an allocation need not exist, a series of work provided approximation algorithms for a 2/3-MMS allocation in which each agent receives a bundle worth at least 2/3 times her maximin share. More recently, Ghodsi et al. [EC'2018] showed the existence of a 3/4-MMS allocation and a PTAS to find a (3/4-ε)-MMS allocation for an ε> 0. Most of the previous works utilize intricate algorithms and require agents' approximate MMS values, which are computationally expensive to obtain. In this paper, we develop a new approach that gives a simple algorithm for showing the existence of a 3/4-MMS allocation. Furthermore, our approach is powerful enough to be easily extended in two directions: First, we get a strongly polynomial-time algorithm to find a 3/4-MMS allocation, where we do not need to approximate the MMS values at all. Second, we show that there always exists a (3/4 + 1/(12n))-MMS allocation, improving the best previous factor. This improves the approximation guarantee, most notably for small n. We note that 3/4 was the best factor known for n> 4.

연구 동기 및 목표

• 계산적으로 비용이 많이 드는 MMS 값 근사화에 의존하지 않고 효율적으로 $\frac{3}{4}$-MMS 할당을 계산하는 데 열려 있는 문제를 해결하기 위해.
• 특히 소수의 에이전트에 대해 $\frac{3}{4}$를 초월하는 최고의 알려진 근사 요인을 향상시키기 위해.
• 깨끗하고 직관적인 프레임워크를 사용하여 $\frac{3}{4}$-MMS 할당의 존재를 보장하는 단순한 조합적 알고리즘을 개발하기 위해.
• 이 접근법을 확장하여 $\frac{3}{4} + \frac{1}{12n}$의 날카로운 근사 보장을 도출하고, 그 최적성(optimality)을 보여주기 위해.
• 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n} - \epsilon)$-MMS 할당을 찾는 PTAS를 제공하기 위해.

제안 방법

• 에이전트 중 한 명이 최소 $\frac{3}{4}$의 가치를 부여하는 고가치 물건에 대해, 깁슨 원리(pigeonhole principle)를 사용한 탐욕적 할당을 수행하여 나머지 고가치 물건의 수를 $n'$명의 남은 에이전트에 대해 최대 $2n'$로 줄인다.
• 에이전트의 MMS 값이 모두 1이 되도록 평가를 스케일링하여, 이 정규화 기준에 대한 번들의 가치 분석을 간결하게 한다.
• 남은 물건을 할당하기 위해 백-채우기 절차를 사용하며, 에이전트 평가에 기반해 번들을 저가, 중간가, 고가로 분류한다.
• 특정 번들에 $\frac{5}{8} + \gamma$를 초과하는 값이 부여된 단일 물건이 있을 경우, 분석 중 가치 범위를 유지하기 위해 가짜 물건(dummy items)을 도입한다. 여기서 $\gamma = \frac{1}{12n}$이다.
• 핵심적인 기술적 혁신은 저가치 물건에 대해 값 기준 $y$를 설정하여, 작은 물건조차도 공정성 보장에 의미 있게 기여하도록 보장하는 것이다.
• 고가치 번들 수($t_1$)에 기반한 케이스 분석을 통해 이론적 경계를 유도하며, $t_1 = 0$과 $t_1 > 0$의 경우를 별도로 다루어 에이전트 $a$의 최종 할당에서의 가치에 대해 최소 $x_a + \frac{l_a}{8}$의 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MMS 값의 근사화에 의존하지 않고, MMS 값 근사화에 의존하지 않는 더 단순하고 효율적인 알고리즘을 통해 $\frac{3}{4}$-MMS 할당을 달성할 수 있는가?
• RQ2 특히 작은 $n$에 대해 $\frac{3}{4}$를 초월하는 근사 요인을 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법이 MMS 값에 대한 PTAS에 의존하지 않고 $\frac{3}{4}$-MMS 할당을 위한 강력 다항시간 알고리즘을 제공하는가?
• RQ4 근사 요인이 점점 더 최적화되거나 정확히 최적화된 값으로 조정될 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크를 확장하여 $n > 4$에 대해 $\frac{3}{4}$-MMS를 초월하는 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n})$-MMS 할당의 존재를 입증하며, 이는 이전의 최고 수준의 요인인 $\frac{3}{4}$를 향상시킨다.
• 근사 요인 $\frac{3}{4} + \frac{1}{12n}$는 날카로운 것으로, 동일한 가정 하에 더 나은 요인은 달성될 수 없다.
• MMS 값의 근사화가 전혀 필요 없는 강력 다항시간 알고리즘을 개발하여 $\frac{3}{4}$-MMS 할당을 계산한다.
• 알고리즘은 개념적으로 단순하며, 고가치 물건의 탐욕적 할당과, 가짜 물건을 사용한 정교한 백-채우기 기법에 기반한다.
• 이 접근법은 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n} - \epsilon)$-MMS 할당을 찾는 PTAS를 제공하며, 이는 이전의 PTAS 설계를 향상시킨다.
• 분석 결과, 각 에이전트는 최종 할당에서 최소 $x_a + \frac{l_a}{8} - \frac{1}{8}$의 가치를 확보하며, 이는 개선된 경계에 기여한다.