[論文レビュー] An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometry

Giovanni Landi|ArXiv.org|Jan 16, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 65被引用数 308

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何学を、古典的微分幾何学を超えた時空および物理理論のモデル化の枠組みとして導入する。C*-代数、スペクトル三つ組、作用素代数を用いて、非可換空間の代数的および位相的基盤を構築し、格子模型、ゲージ理論、重力への応用を含む。主たる貢献は、AF代数とブラッティェリ図を用いた非可換空間の体系的構成であり、離散的・非可換な格子上でのヤン・ミルズ作用とスペクトル作用の定式化を可能にする。

ABSTRACT

These lectures notes are an intoduction for physicists to several ideas and applications of noncommutative geometry. The necessary mathematical tools are presented in a way which we feel should be accessible to physicists. We illustrate applications to Yang-Mills, fermionic and gravity models, notably we describe the spectral action recently introduced by Chamseddine and Connes. We also present an introduction to recent work on noncommutative lattices. The latter have been used to construct topologically nontrivial quantum mechanical and field theory models, in particular alternative models of lattice gauge theory. Here is the list of sections: 1. Introduction. 2. Noncommutative Spaces and Algebras of Functions. 3. Noncommutative Lattices. 4. Modules as Bundles. 5. The Spectral Calculus. 6. Noncommutative Differential Forms. 7. Connections on Modules. 8. Field Theories on Modules. 9. Gravity Models. 10. Quantum Mechanical Models on Noncommutative Lattices. Appendices: Basic Notions of Topology. The Gel'fand-Naimark-Segal Construction. Hilbert Modules. Strong Morita Equivalence. Partially Ordered Sets. Pseudodifferential Operators

研究の動機と目的

• 物理学者および数学者向けに、コンヌの非可換幾何学への教育的導入を提供すること。
• 関数の代数とジャコブソン位相のような位相的構造を用いて、非可換空間を明確な数学的対象として確立すること。
• 作用素代数とK理論を用いて、非可換格子上での量子場理論および重力のモデル化のための枠組みを構築すること。
• 距離、微分形式、接続、曲率といった古典的幾何的概念が、スペクトル三つ組を用いてどのように一般化できるかを示すこと。
• スペクトル作用原理を通じてゲージ相互作用と重力的相互作用を統一する非可換格子の物理的関連性を探ること。

提案手法

• 非可換空間を代数のスペクトルとして表現するために、C*-代数とゲルファンド＝ナイマイヤー＝セーガール（GNS）構成を用いる。
• 原始的理想空間の位相を定義するために、ジャコブソン（ホール・カーネル）位相を適用し、スペクトルの概念を一般化する。
• ブラッティェリ図を用いてAF代数から非可換格子を構成し、連続空間への離散的近似を可能にする。
• スペクトル三つ組 (A, H, D) をリーマン多様体の非可換アナロジーとして導入し、Dが計量および微分構造を符号化することを示す。
• コンネスの普遍的微分計算を用いて微分形式を定義し、ディクスミエ・トレースを用いて形式に内積を導入する。
• 非可換代数上の射影的モジュールにゲージ理論を適用し、モジュール理論とスペクトル計算を用いて接続と曲率を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数やジャコブソン位相といった代数的・位相的道具を用いて、非可換空間をどのように厳密に定義できるか。
• RQ2 AF代数とブラッティェリ図から構成される非可換格子は、連続多様体への離散的近似として機能できるか。
• RQ3 スペクトル三つ組を用いて、距離、積分、微分幾何学の概念を非可換幾何学でどのように一般化できるか。
• RQ4 スペクトル作用原理を用いて、非可換格子上にヤン・ミルズ作用と重力的作用を定式化できるか。
• RQ5 K理論とディクスミエ・トレースは、非可換幾何学における位相的不変量と物理的作用を定義するために果たす役割は何か。

主な発見

• AF代数とブラッティェリ図から構成される非可換格子は、連続空間の離散的・代数的モデルを提供し、原始的理想空間を通じて位相が回復される。
• スペクトル三つ組 (A, H, D) はリーマン幾何学を一般化する：点間の距離はコンネスの公式により回復され、積分はディクスミエ・トレースによって定義される。
• 2点からなる空間におけるボソン的スペクトル作用は、正しい形のヤン・ミルズ作用を再現し、非可換格子がゲージ理論に適していることを示している。
• 非可換格子上でのフェルミオン的スペクトル作用は、ヒッグス機構とゲージ群構造を含む、完全な標準模型ラグランジアンを再現する。
• ワドジツキ・リーマンとディクスミエ・トレースは、非可換積分とトレースを定義するための不可欠な道具であることが示され、前者は可換極限でアインシュタイン＝ヒルベルト作用を回復する。
• 非可換空間上の楕円型擬微分作用素は、滑らか化作用素をmodulo として逆作用素を有し、スペクトル不変量および幾何的構造の定義可能性を保証する。