[論文レビュー] An introduction to the mechanics of black holes

Geoffrey Compère|ArXiv.org|Nov 24, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における幾何学的および変分的手法を用いて、ブラックホール力学のゼロ法則、第一法則、第二法則を自己完結的に導出する。第一法則は一般化されたネーター定理を用いて確立され、表面重力がキリングホライズン上で一定であることを証明し、ブラックホール熱力学と重力理論における保存則を結びつける。

ABSTRACT

These notes provide a self-contained introduction to the derivation of the zero, first and second laws of black hole mechanics. The prerequisite conservation laws in gauge and gravity theories are also briefly discussed. An explicit derivation of the first law in general relativity is performed in appendix.

研究の動機と目的

• ブラックホール力学のゼロ法則、第一法則、第二法則を、教育的で自己完結的な導出を提供すること。
• 平衡状態のブラックホール状態を定義するためのキリングホライズンとイベントホライズンの役割を明確にすること。
• 一般化されたネーター定理を介して、重力理論およびゲージ理論における保存則とブラックホール熱力学を結びつけること。
• メトリックおよびキリングベクトル場の変動を用いて、アインシュタイン理論におけるブラックホール力学の第一法則を導出すること。
• この形式を電磁気学および一般重力理論に拡張し、熱力学的類似性と整合することを示すこと。

提案手法

• 一般化されたネーター定理を用いて、重力理論およびゲージ理論における対称性に関連する保存電流および保存量を導出する。
• レイチャウドフリ方程式を用いて、ヌル超曲面上の測地線束を分析し、イベントホライズンの性質を確立する。
• イベントホライズンを、未来のヌル無限遠点の因果的過去の閉包からその内部を除いた境界として定義する。$\mathcal{H} = \overline{J^{-}(\mathcal{I}^{+})} - J^{-}(\mathcal{I}^{+})$。
• ヌルエネルギー条件とヌル測地線における発散の振る舞いを用いて、面積定理を導出し、$\delta \mathcal{A} \geq 0$ を示す。
• キリングホライズンを、キリングベクトル場が接するヌル超曲面として定義し、表面重力 $\kappa$ の定義を可能にする。
• 作用およびメトリックの摂動に対する変動を実行し、ホライズン上の誘導微分および共変微分を用いて $\delta \kappa$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における変分原理から、ブラックホール力学の第一法則をどのように導出できるか。
• RQ2 キリングホライズン上で表面重力 $\kappa$ が一定であるための条件は何か。また、これはゼロ法則とどのように関係するか。
• RQ3 ネーターの定理から得られる保存則（重力理論におけるもの）が、ブラックホール熱力学とどのように関係するか。
• RQ4 一般化されたネーター電流が、ブラックホールの第一法則を導出するために果たす役割は何か。
• RQ5 第一法則を電磁気場および他の重力理論に拡張するにはどうすればよいか。

主な発見

• 第一法則は $\delta M = \frac{\kappa}{8\pi G} \delta \mathcal{A} + \Omega \delta J + \dots$ として導出され、ここで $\delta M$ は質量の変化、$\delta \mathcal{A}$ はホライズン面積の変化、$\kappa$ は表面重力である。
• 定常ブラックホールにおいて、表面重力 $\kappa$ はホライズン上で一定である。これはブラックホール力学のゼロ法則を確立する。
• 面積定理は、ヌルエネルギー条件の下で、古典的進化においてホライズン面積 $\mathcal{A}$ が非減少であることを示し、$\delta \mathcal{A} \geq 0$ である。
• 表面重力の変動 $\delta \kappa$ は、メトリックおよびキリングベクトルの変動を用いて明示的に計算され、$\delta \kappa = -\frac{1}{2} \delta g_{\mu\nu}^{\ ;\mu} \xi^\nu + \dots$ を得る。ここで、ホライズン上での誘導共変微分を含む項が含まれる。
• コマール積分およびネーター電流の変動を用いて第一法則が確認され、$\oint_H K_{\delta\xi}[g] = \oint_H \xi \cdot \Theta[\delta g; g] - \frac{\delta \mathcal{A}}{8\pi G} \delta \kappa$ を得る。
• 摂動において $\delta(\partial_t)^\mu = \delta(\partial_\varphi)^\mu = 0$ を仮定することで、$\delta \kappa$ の簡略化された表現が得られ、メトリックおよび角速度の変動のみを含む。