[論文レビュー] An invariance principle under the total variation distance

Ivan Nourdin, Guillaume Poly|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、平均が0で分散が1の同一分布に従う確率変数のための、全 Variation 距離における同次多項式 Chaoses の不変性原理を確立する。Prohorovの古典的結果（和に関する中心極限定理）を高次多項式へ拡張し、著者らは、Malliavin微積分とSteinの方法を用いて分布間の距離を制御することで、このような Chaoses が標準正規分布に全 Variation 距離で収束するための必要十分条件を示した。その条件は、ある Chaotic 項が絶対連続成分を持つことである。

ABSTRACT

Let $X_1,X_2,\ldots$ be a sequence of i.i.d. random variables, with mean zero and variance one. Let $W_n=(X_1+\ldots+X_n)/\sqrt{n}$. An old and celebrated result of Prohorov asserts that $W_n$ converges in total variation to the standard Gaussian distribution if and only if $W_{n_0}$ has an absolutely continuous component for some $n_0$. In the present paper, we give yet another proof and extend Prohorov's theorem to a situation where, instead of $W_n$, we consider more generally a sequence of homogoneous polynomials in the $X_i$. More precisely, we exhibit conditions for a recent invariance principle proved by Mossel, O'Donnel and Oleszkiewicz to hold under the total variation distance. There are many works about CLT under various metrics in the literature, but the present one seems to be the first attempt to deal with homogeneous polynomials in the $X_i$ with degree strictly greater than one.

研究の動機と目的

• i.i.d. 確率変数の正規化された和に関するProhorovの不変性原理を、1次より高い次数の同次多項式 Chaoses へ拡張すること。
• このような多項式 Chaoses が全 Variation 距離で標準正規分布に収束するための条件を確立すること。
• 特に次数 >1 の非線形関数に対する、i.i.d. 確率変数の関数としての収束に関する、従来の全 Variation 距離での結果の欠如を補完すること。
• Malliavin微積分とSteinの方法の現代的ツールを用いて、Prohorovの定理の新しい証明と一般化を提供すること。

提案手法

• 著者らは、$ d \geq 1 $ の次数の同次多項式 Chaoses の構造を分析するためにMalliavin微積分を用い、適切な正規化と個々の項の漸近的無視可能性を保証する。
• 彼らは、係数とモーメントにやや弱い条件を課すと、Kolmogorov距離での収束を保証するMossel, O'Donnell, Oleszkiewiczの不変性原理を適用する。
• 重要な技術的要素として、分布収束と全 Variation の間をつなぐために、指示関数の滑らかな近似を用いたFortet-Mourier距離の使用がある。
• 証明は、条件付き分散を含む成分に分布距離を分解し、密度の挙動を制御するための滑らかなカットオフ関数 $ \phi \star p_\alpha $ を用いる。
• Gamma作用素とOrnstein-Uhlenbeck作用素を含む不等式の系列を用いて、全 Variation 距離の上限を導出する。ここで、恒等式 $ \Gamma(f,g) = \sum_i \partial_i f \partial_i g $ とOrnstein-Uhlenbeck過程の生成作用素 $ \mathcal{L} $ を用いる。
• 最終的な推定は、近似誤差、切り詰め誤差、および尾確率の誤差項を組み合わせており、パrameter $ \alpha $, $ \delta $, $ M $ を調整し、極限を取ることで収束を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $ d \geq 2 $ の同次多項式 Chaoses の列が、全 Variation 距離で標準正規分布に収束するための条件は何か？
• RQ2 Prohorovの和に関する不変性原理は、i.i.d. 確率変数の非線形的・高次多項式関数へ拡張可能か？
• RQ3 ある $ W_{n_0} $ の分布の絶対連続性が、多項式 Chaoses における全 Variation 収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 Malliavin微積分とSteinの方法をどのように組み合わせて、非線形設定における全 Variation 距離を制御できるか？
• RQ5 多項式 Chaoses に対して、全 Variation 距離における収束の定量的レートは存在するか？また、その係数の構造にどのように依存するか？

主な発見

• 本稿は、同次多項式 Chaoses $ Q_n({\bf X}) $ の列が、全 Variation 距離で標準正規分布に収束するための必要十分条件として、ある $ Q_{n_0}({\bf X}) $ が絶対連続成分を持つことであると確立した。
• 確率変数が $ L^{2+\epsilon} $ に属し、係数が正規化および漸近的無視可能性を満たす限り、Mossel, O'Donnell, Oleszkiewiczの不変性原理におけるKolmogorov収束と同一の条件下で、全 Variation 収束が成立する。
• 全 Variation 距離の上限が、$ \alpha \to 0 $, $ \delta \to 0 $, $ M \to \infty $ の極限で消える項を含む形で導出され、距離が0に近づくことが結論づけられた。
• 主な技術的上限は、$ \left| \mathbb{E}[\phi(Q_n(\mathbf{X}))] - \mathbb{E}[\phi(Q_n(\mathbf{Y})) \right| \leq \frac{4}{M} + 4\kappa \delta^{1/(2d+1)} + 2\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\alpha}{\delta} c(M) + \text{small terms} $ であり、極限で0に近づく。
• 本結果は、非線形関数（次数 >1 の多項式 Chaoses）に対して、全 Variation 距離での収束を初めて確立した。従来の研究では、この距離尺度において線形和のみが考察されていたため、本研究はその空白を埋めた。
• Malliavin微積分と滑らかな近似に基づく証明技法は、非線形かつ非正規設定における全 Variation 収束を研究するための新しいフレームワークを提供する。