[論文レビュー] An inverse boundary value problem for certain anisotropic quasilinear elliptic equations

Cătălin I. Cârstea, Ali Feizmohammadi|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 33被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、線形部がラプラシアンで、非線形部が解の勾配に関して解析的関数の発散である非線形性を有する非線形楕円型方程式の逆境界値問題において、一意性を確立する。第二回線形化技術とガウス型準モードの構成を用いて、著者らは、非線形項の係数（次数Nまで）が、境界上のディリクレ・トゥ・ノイマン写像によって一意に特定されることを証明した。非線形係数が非等方的であっても、これは、このような方程式の逆問題分野における主要な未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

In this paper we prove uniqueness in the inverse boundary value problem for quasilinear elliptic equations whose linear part is the Laplacian and nonlinear part is the divergence of a function analytic in the gradient of the solution. The main novelty in terms of the result is that the coefficients of the nonlinearity are allowed to be "anisotropic". As in previous works, the proof reduces to an integral identity involving the tensor product of the gradients of 3 or more harmonic functions. Employing a construction method using Gaussian quasi-modes, we obtain a convenient family of harmonic functions to plug into the integral identity and establish our result.

研究の動機と目的

• 非等方的非線形性を有する準線形楕円型方程式の逆境界値問題における一意性を確立すること。
• ディリクレ・トゥ・ノイマン写像が、方程式における非線形項の係数を一意に特定することを示すこと。
• 従来の研究で大きな制限となっていた、非線形係数が等方的でない場合にまで、既存の一意性結果を拡張すること。
• 第二回線形化から生じる積分恒等式を解析するため、ガウス型準モードを用いた調和関数の新規構成法を開発・適用すること。

提案手法

• 小さなパラメータ ǫ のべき級数展開によりディリクレ・トゥ・ノイマン写像を展開し、線形項および高次項を抽出する第二回線形化アプローチを用いる。
• 線形化方程式の解として、非線形係数を調べるのを目的とした、ガウス型準モードを用いて調和関数の族を構成する。
• 3つ以上の調和関数の勾配のテンソル積と非線形係数を含む積分恒等式を導出する。
• 積分恒等式を、個々の係数成分を分離できる形に変形するために、極化のテクニックを適用する。
• パrameter τ における漸近展開を用いて、積分恒等式の主要項を抽出し、展開における特定の単項式項に注目する。
• 構成された関数の対称性および直交性の性質を用いて、誤った項を排除し、関心のある係数を特定する。最終的に C = 0 を示し、係数の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形係数が等方的でない場合、すなわち定数や等方的でない場合に、準線形楕円型方程式の逆境界値問題において、一意性を確立できるか。
• RQ2 非線形係数が空間変数に依存し、添え字の置換に対して対称でない場合であっても、ディリクレ・トゥ・ノイマン写像が非線形項の係数を一意に特定できるか。
• RQ3 適切な調和関数を構成することで、第二回線形化法を非等方的非線形性に適応可能か。特に、係数のテンソル構造を完全に調べられるようにする。
• RQ4 極化のテクニックが、係数成分の抽出を可能にするガウス型準モードが果たす役割は何か。
• RQ5 ディリクレ・トゥ・ノイマン写像の漸近展開における主要項を解析することで、非線形係数テンソルの一意性を証明できるか。

主な発見

• 主な結果は、小さな境界データに対して、2つの非線形性 J^(1) と J^(2) が同じディリクレ・トゥ・ノイマン写像をもたらすならば、すべての k = 2, ..., N に対して、それらの係数 J_k^(1) と J_k^(2) が同一でなければならないことである。
• 証明は第二回線形化技術に依拠しており、ディリクレ・トゥ・ノイマン写像を小さなパラメータ ǫ のべき級数に展開し、k 階の項 Λ_k を抽出する。
• 著者らは、非線形係数のテンソル構造を調べるために不可欠な、ガウス型準モードを用いた特別な調和関数の族を構成した。
• このような調和関数の積の漸近展開における主要項を解析することで、係数テンソル C を特定し、それが消える必要があることを示した。これにより一意性が導かれる。
• テンソル積の勾配の完全な対称性を活用する極化のテクニックにより、非等方的係数に対してもこの方法は成功した。
• 非線形部が勾配に関して解析的であり、係数が滑らかで compact な台を持つこと、および小さな境界データに対して解が存在かつ一意であることの仮定の下で、この結果は成り立つ。