[論文レビュー] An Inverse K-Theory Functor

Michael A. Mandell|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、Γ-空間から順序付き圏へのSegalのK理論関手の新しい逆関手を構成し、任意の連結スペクトルが順序付き圏のK理論として現れることを示すThomasonの定理の新しい証明を提供する。構成は、有限の順序列の圏上のGrothendieck型ホモトピー余極限を用い、一般化された単体的ホモトピー同値である自然変換を確立し、逆関手が安定同値を保存し、安定ホモトピー圏のレベルで同値を誘導することを証明する。

ABSTRACT

Thomason showed that the K-theory of symmetric monoidal categories models all connective spectra. This paper describes a new construction of a permutative category from a Gamma-space, which is then used to re-prove Thomason's theorem and a non-completed variant.

研究の動機と目的

• 順序付き圏からΓ-空間へのSegalのK理論関手のホモトピー的逆関手を構成すること。
• 任意の連結スペクトルが順序付き圏のK理論として現れることを示すThomasonの定理を再証明すること。
• Γ-空間の安定ホモトピー圏と順序付き圏の安定ホモトピー圏の間の安定同値を確立すること。
• 単体的およびカテゴリカルなホモトピー論を用いて、Γ-空間から順序付き圏への関手の新しい明示的構成を提供すること。

提案手法

• 単体的集合から圏への関手 $\mathcal{S}$ を構成し、これは $\operatorname{Ex}^2 N$ の左随伴である。この関手は逆構成の基盤をなす。
• 正の整数の有限順序列（空順序列を含む）の圏 $\mathcal{A}$ を定義し、置換、集合値写像、分割による射が生成する。
• Grothendieckの構成を用いて $\mathcal{P}(\mathcal{X}) = \int_A \mathcal{X}$ を定義し、$\Gamma$-圏 $\mathcal{X}$ から得られる、厳密な積と単位を備えた順序付き圏を構成する。
• 自然変換 $\mathcal{P}\mathcal{K}\mathcal{C} \to \mathcal{C}$ と双対的な $\mathcal{X} \leftarrow \mathcal{W}\mathcal{X} \to \mathcal{K}\mathcal{P}\mathcal{X}$ を構成する。ここで $\mathcal{W}$ は $\Gamma$-圏上の自己関手である。
• codiagonal および $\mathcal{A}$ の対角写像を用いて、明示的なホモトピーを構成することで、ホモトピーのナーヴの誘導写像が一般化された単体的ホモトピー同値であることを証明する。
• coidiagonal および収縮写像によって誘導される自然変換を用いて、ホモトピー余極限上の合成写像が恒等写像とホモトープであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Γ-空間から順序付き圏へのSegalのK理論関手の新しい逆関手を明示的に構成できるか？
• RQ2 この新しい関手は安定同値を保存し、安定ホモトピー圏のレベルで同値を誘導するか？
• RQ3 $\mathcal{P}\mathcal{K}\mathcal{C}$ と $\mathcal{C}$ の間、および $\mathcal{X}$ と $\mathcal{K}\mathcal{P}\mathcal{X}$ の間の自然変換が一般化された単体的ホモトピー同値であるか？
• RQ4 Thomasonの定理（連結スペクトルが順序付き圏によって表せること）を、この新しい構成を用いて再証明できるか？

主な発見

• Γ-空間から順序付き圏への関手 $P = \mathcal{P} \circ \mathcal{S}$ は、安定同値を保存する。
• 自然変換 $\mathcal{P}\mathcal{K}\mathcal{C} \to \mathcal{C}$ は、順序付き圏の自然な安定同値である。
• 自然変換 $\mathcal{X} \leftarrow \mathcal{W}\mathcal{X} \to \mathcal{K}\mathcal{P}\mathcal{X}$ は、$\Gamma$-圏の自然な安定同値である。
• ホモトピー余極限 $EX_{j+1}$ および $EX_j \times EX$ 上の合成写像は、coidiagonal および収縮写像から構成された明示的ホモトピーにより、恒等写像と一般化された単体的ホモトピー同値である。
• 証明により、逆関手 $P$ がΓ-空間と順序付き圏の間の安定ホモトピー圏の同値を誘導することが示された。
• この構成により、SegalのK理論関手に対する新しい明示的かつホモトピー的に整合性のある逆関手が得られ、Thomasonの表象定理の新しい証明が可能になった。