[論文レビュー] An Isomorphism Between Moduli Spaces of Abelian Varieties

Ch. Birkenhake, Herbert Lange|ArXiv.org|Apr 22, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、族としてのアーベル多様体の双対性を用いて、タイプ $(d_1,\ldots,d_g)$ と $(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)$ の極小化されたアーベル多様体のモジュライ空間の標準的同型を確立する。双対アーベルスキーム $\hat{A}$ 上に、$\lambda^{\delta\delta} = \lambda$ を満たす双対極小化 $\lambda^\delta$ を定義し、ムカイのフーリエ変換を用いて、誘導される極小化が双対同態の倍率であることを示し、主要なモジュライ空間の同型を得る。

ABSTRACT

In a previous paper we showed that for every polarization on an abelian variety there is a dual polarization on the dual abelian variety. In this note we extend this notion of duality to families of polarized abelian varieties. As a main consequence we obtain an involution on the set of moduli spaces of polarized abelian varieties of dimension $g$. In particular, the moduli spaces $\mathcal A_{(d_1,...,d_g)}$ and $\mathcal A_{(d_1,\frac{d_1d_g}{d_{g-1}},...,\frac{d_1d_g}{d_2},d_g)}$ are canonically isomorphic.

研究の動機と目的

• 個々のアーベル多様体の極小化の双対性を、基底スキーム上の族へと拡張すること。
• 基底スキーム $S$ 上の双対アーベルスキーム $\hat{A}/S$ 上に、$\lambda^{\delta\delta} = \lambda$ を満たす標準的双対極小化 $\lambda^\delta$ を定義すること。
• タイプ $(d_1,\ldots,d_g)$ の極小化されたアーベル多様体のモジュライ函手と変換されたタイプの間の同型を示すこと。
• ムカイのフーリエ変換を用いて、$\hat{A}/S$ 上に相対的に非常に小さな線分束 $\hat{\mathcal{L}}$ を構成し、誘導される極小化 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ が双対性と整合することを保証すること。
• 得られるモジュライ空間 $\mathcal{A}_{(d_1,\ldots,d_g)}$ と $\mathcal{A}_{(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)}$ が標準的に同型であることを証明すること。

提案手法

• 双対同態 $\lambda^D: \hat{A} \to A$ を、同態 $\lambda: A \to \hat{A}$ の逆写像として定義し、$\lambda^D \circ \lambda = e_A$ および $\lambda \circ \lambda^D = e_{\hat{A}}$ を満たす。
• ムカイのフーリエ変換を用いて、$A/S$ 上の相対的に非常に小さな線分束 $\mathcal{L}$ のフーリエ変換 $F(\mathcal{L})$ を用いて、$\hat{A}/S$ 上の線分束 $\hat{\mathcal{L}} := (\det F(\mathcal{L}))^{-1}$ を構成する。
• 基底変換定理を適用して、$\mathcal{L}$ がインデックス 0 の WIT シェーブルであることを示し、$F(\mathcal{L})$ がランク $d = h^0(\mathcal{L}_s)$ のベクトルバンドルであることを保証する。
• 関係式 $\phi_{\mathcal{L}}^* \hat{\mathcal{L}} = \pi^* (\det \pi_* \mathcal{L})^{-1} \otimes \mathcal{L}^d$ を用いて、$\phi_{\mathcal{L}}$ が分離的であるとき、$\phi_{\hat{\mathcal{L}}} = d_{1} \cdots d_{g-1} \cdot \phi_{\mathcal{L}}^D$ を証明する。
• 平坦な基底変換と射影公式を用いて、$S$ 上の局所自由なシーヴェ $\mathcal{F}$ に対して、$F(\pi^* \mathcal{F} \otimes \mathcal{M}) = \hat{\pi}^* \mathcal{F} \otimes F(\mathcal{M})$ を導出する。
• $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ が相対的に非常に小さく、$\phi_{\hat{\mathcal{L}}} \circ \phi_{\mathcal{L}} = d_A$ を満たすことを示し、$\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ が $\hat{A}/S$ 上の極小化であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極小化の双対性が、極小化されたアーベル多様体の族に標準的に拡張可能であり、それが極小化されたアーベル多様体のモジュライ空間上で対合を誘導するか？
• RQ2 双対アーベルスキーム $\hat{A}/S$ 上の双対極小化 $\lambda^\delta$ が、$\lambda: A \to \hat{A}$ から内在的に構成可能であり、$\lambda^{\delta\delta} = \lambda$ を満たすか？
• RQ3 モジュライ空間 $\mathcal{A}_{(d_1,\ldots,d_g)}$ と $\mathcal{A}_{(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)}$ は、標準的同型を介して同型であるか？
• RQ4 双対アーベルスキーム $\hat{A}/S$ 上の極小化 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ と双対同態 $\phi_{\mathcal{L}}^D$ の間の明確な関係は何か？
• RQ5 フーリエ変換の構成が、$\hat{A}/S$ 上の極小化を、$\phi_{\mathcal{L}}^D$ の倍率として得るための条件は何か？

主な発見

• 粗いモジュライ空間 $\mathcal{A}_{(d_1,\ldots,d_g)}$ と $\mathcal{A}_{(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)}$ の間に標準的同型が存在する。
• 双対アーベルスキーム $\hat{A}/S$ 上の双対極小化 $\lambda^\delta$ は $\lambda^{\delta\delta} = \lambda$ を満たし、モジュライ空間上で双対性が対合をなす。
• タイプ $(d_1,\ldots,d_g)$ の分離的極小化 $\phi_{\mathcal{L}}$ に対して、フーリエ変換によって誘導される極小化 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ は $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} = d_1 \cdots d_{g-1} \cdot \phi_{\mathcal{L}}^D$ を満たす。
• 線分束 $\hat{\mathcal{L}} := (\det F(\mathcal{L}))^{-1}$ は $\hat{A}/S$ 上で相対的に非常に小さく、$\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ が極小化であることを保証する。
• 関係式 $\phi_{\mathcal{L}}^* \hat{\mathcal{L}} = \pi^* (\det \pi_* \mathcal{L})^{-1} \otimes \mathcal{L}^d$ は $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} \circ \phi_{\mathcal{L}} = d_A$ を意味し、双対性を確認する。
• 分離的極小化では指数 $e = d_g$ であり、$\phi_{\hat{\mathcal{L}}} = d_1 \cdots d_{g-1} \cdot \phi_{\mathcal{L}}^D$ は分離性の下で正確に成り立つ。