[論文レビュー] An iteration procedure for a two-term Machin-like formula for pi with small Lehmer's measure

Sanjar M. Abrarov, Brendan M. Quine|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、πの2項マチン型公式に対する反復手続きを提示し、Lehmerの指標が約0.245319という記録的な低さを達成した。有理数近似と複素数を含まない再帰関係を活用することで、収束が極めて速く、1項追加するごとにπの精度が16桁向上する。これは、無理数や複素数を用いない完全に有理数の算術のみを用いた、極めて効率的な計算手法である。

ABSTRACT

In this paper we present a two-term Machin-like formula for pi \[\fracπ{4} = 2^{k - 1}\arctan\left(\frac{1}{u_1} ight) + \arctan\left(\frac{1}{u_2} ight)\] with small Lehmer's measure $e \approx 0.245319$ and describe iteration procedure for simplified determination of the required rational number $u_2$ at $k = 27$ and $u_1 = 85445659$. With these results we obtained a formula that has no irrational numbers involved in computation and provides $16$ digits of pi at each increment by one of the summation terms. This is the smallest Lehmer's measure ever reported for the Machin-like formulas for pi.

研究の動機と目的

• πのLehmerの指標が最小限となる非常に効率的なマチン型公式の開発。
• 2項公式における必要な有理数パラメータu₁とu₂の計算を簡素化すること。
• πの反復評価において無理数や複素数を一切使用しないこと。
• 収束速度を向上させ、各和項の増加ごとにπの精度が16桁向上すること。
• 有理数算術のみを用いて高精度なπの計算が可能な実用的でスケーラブルなアルゴリズムの提供。

提案手法

• 本手法は、恒等式π/4 = 2^{k-1} arctan(1/u₁) + arctan(1/u₂)に基づく再帰関係を用い、u₁とu₂を反復的に決定する。
• 逆正 tangent 級数展開の係数αₘ, βₘ, γₘ, θₘを計算する際に、複素数を含まない再帰関係を採用する。
• 公式はπ = 8 Σ (1/(2m−1)) [2^{k−1} αₘ/(αₘ²+βₘ²) + γₘ/(γₘ²+θₘ²)]として表現され、有理数のみの計算が可能になる。
• パラメータu₂は、(u₁+i)/(u₁−i)の累乗を含む閉形式式により計算され、その後有理数に簡略化される。
• 反復プロセスによりu₁は有理数であり、u₂は正確に導出され、浮動小数点近似を避ける。
• 収束性の検証のために、Mathematicaを用いて再帰関係と高精度算術を用いた実装が行われた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 πの2項マチン型公式を、これまでに報告された値よりも顕著に小さいLehmerの指標で構築することは可能か？
• RQ2 無理数や複素数を用いずに、このような公式を有理数のみで計算することは可能か？
• RQ3 収束速度を向上させ、和項の増加ごとにπの精度が16桁向上するようにすることは可能か？
• RQ4 逆正 tangent 級数係数を効率的かつ正確に計算するための反復再帰関係は何か？
• RQ5 数値的不安定性を避けて、大きなkに対してu₂を体系的に決定する方法は何か？

主な発見

• 著者らは、πのマチン型公式において報告された中で最小のLehmerの指標約0.245319を達成した。
• 収束が速いため、和項の増加ごとにπの精度が16桁向上する。これは逆正 tangent 級数の急速な収束に起因する。
• すべての計算が有理数のみで行われ、反復評価において無理数や複素数を一切使用しない。
• αₘ, βₘ, γₘ, θₘの再帰関係は安定しており、有理数算術のみを用いてπの高精度計算が可能である。
• k = 27およびu₁ = 85445659のとき、有理数としてのu₂が得られ、πの高精度計算に最小限の計算コストで対応できる。
• 数値的検証により、式(22)の級数展開はEulerの級数(23)よりも速く収束し、x = 10⁻⁶で10項のみで誤差項が4.54 × 10⁻¹³⁴に達することが確認された。