[論文レビュー] An L_p-theory of stochastic parabolic equations with the random fractional Laplacian driven by Lévy processes

Kyeong-Hun Kim, Panki Kim|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般のLévy過程によって駆動される確率的放物型方程式の$L_p$-理論を確立し、任意の$\alpha \in (0,2)$を有する確率的分数階ラプラシアン作用素を特徴とする。パラボリック型リトルウッド＝ペイリー不等式およびバーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディ型推定を活用することで、係数が分布であり、ノイズに無限大の活動性を持つジャンプを含む場合でさえも、局所$L_p$-ソボレフ空間における解の存在および一意性を証明する。

ABSTRACT

In this paper we give an $L_p$-theory for stochastic parabolic equations with random fractional Laplacian operator. The driving noises are general Lévy processes.

研究の動機と目的

• 一般のLévy過程によって駆動される確率的放物型方程式の、確率的分数階ラプラシアン作用素を有する$L_p$-理論の構築。
• 従来のWiener過程に限らない$L_p$-正則性結果を、無限大の活動性を持つジャンプ型Lévyノイズにまで拡張すること。
• Lévyノイズのモーメント仮定を弱め、$p$-次のモーメントを局所的にのみ要求し、有限個の過程が存在する場合には条件(3.2)を完全に除外すること。
• 係数が負または分数階微分を持つ分布である場合でも、局所$L_p$-ソボレフ空間におけるパスごとの解を確立すること。
• 正則性指数が臨界閾値を上回る限り、Sobolev埋め込みにより、一般のLévyノイズのもとでも解が点ごとの Hölder 継続性を有することを示すこと。

提案手法

• Krylov [14] の$L_p$-理論フレームワークを、分数階ラプラシアン$\Delta^{\alpha/2}$（$\alpha \in (0,2)$）を有する確率的放物型方程式に適応する。
• 文献[11]で導入された分数階ラプラシアンのためのパラボリック型リトルウッド＝ペイリー不等式を適用し、解の項の正則性を制御する。
• Lévy過程によって駆動される確率積分の推定にバーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディ不等式を用い、特にジャンプ部およびマルティンゲール部を扱う。
• Lévy測度に対する最小限の可積分性条件を課し、$p$-次のモーメントを局所的にのみ許容し、局所化および切断による議論により、グローバル条件(3.2)を除外する。
• 停止時刻および局所化技術を用いて、元のLévy過程を切断されたバージョンで近似することで、$\mathcal{H}^{\gamma+\alpha}_{p,\text{loc}}(\tau)$における解の構成を行う。
• テスト関数を$C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$にとる弱い定式化を通じてパスごとの解を定義し、解が$H^\gamma_p$において右連続かつ左極限を有することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のLévy過程（無限大の活動性を有するものも含む）によって駆動される確率的放物型方程式に対して、確率的分数階ラプラシアンを有する$L_p$-理論を確立できるか？
• RQ2 解が$L_p$-ソボレフ空間において存在および一意となるために必要なLévyノイズの最小可積分性条件は何か？
• RQ3 解の正則性は、分数階ラプラシアンの次数およびノイズの可積分性にどのように依存するか？
• RQ4 係数$f$および$g$が負または分数階微分を持つ分布である場合、理論はそれらを扱えるか？
• RQ5 解がジャンプノイズが存在する場合でも、点ごとのHölder連続性をどのようにして得られるか？

主な発見

• 本稿は、仮定2.10および4.6の下で、Lévyノイズが無限大の活動性を持ち、$p$-次のモーメントも局所的である場合でさえも、SPDE (3.4) のパスごとの解$u \in \mathcal{H}^{\gamma+\alpha}_{p,\text{loc}}(\tau)$の存在および一意性を証明する。
• 解は次の事前推定を満たす：$\|u\|_{\mathcal{H}^{\gamma+\alpha}_{p}(\tau_n)} \leq c(T,d,\alpha) \left( \|f\|_{\mathbb{H}^\gamma_p(\tau_n)} + \|h\|_{\mathbb{H}^{\gamma+\alpha/2}_p(\tau_n,\ell_2)} + \sum_{j=1}^m \|g^{\cdot,j}\|_{\mathbb{H}^{\gamma+\alpha/2+\varepsilon_1}_p(\tau_n,\ell_2)} + \|u_0\|_{U^{\gamma+\alpha-\alpha/p}_p} \right)$、ただし$c$は$n$に依存しない。
• $\gamma + \alpha > d/p$のとき、Sobolev埋め込みにより、解$u$は$\mathbb{P}$-ほとんど確実に、$t \leq \tau$に対して空間で$C^{\gamma+\alpha-d/p}$-Hölder連続である。
• Lévy空間時間白色ノイズのケースも理論がカバーしており、定理4.3および4.4で示されている。これは、従来のWienerノイズに限られた結果を拡張するものである。
• 有限個のLévy過程が存在する場合には、Lévyノイズ係数の$L_p$-ノルムに関する条件(3.2)を完全に除外できる。
• 本手法は、例えば[19]におけるHölder型理論とは異なり、$f$および$g$の正則性をより低く許容でき、負または分数階微分を持つ分布も含む。